Page 12 - MATINF Nr. 4

12 M. Ionescu

AG −→
Demonstrat¸ie. Fie M mijlocul laturii [BC]. Atunci G ∈ (AM) ¸si = 2. Rezult˘a OG =
−→ −−→ −→ −−→ −→ GM
OA + 2OM OA + OB + OC
= .
3 3

Propozit , ia 6. (Condit , ia vectorial˘a ca dou˘a
triunghiuri s˘a aib˘a acelas , i centru de greutate.)
0
0
0
Triungiurile ABC ¸si A B C au acelas , i centru
de greutate, dac˘a s , i numai dac˘a
−→ −−→ −→ − →
0
0
0
AA + BB + CC = 0 .
0
Demonstrat¸ie. Fie G, G centrele de greutate
−→
0
0
0
ale triunghiurilor ABC ¸si A B C . Din OG =
−→ −−→ −→ −→ −−→ −→
0
0
OA + OB + OC −→ OA + OB + OC 0
0
, OG = , Figura 1
3 3
se obt , in succesiv urm˘atoarele relat , ii echiva-
−→ −→ −→ −−→ −→
0
0
lente: G = G , OG = OG , OA+OB+OC =
−→ −−→ −→ −→ −−→ −→ − →
0
0
0
0
0
0
OA +OB +OC , AA +BB +CC = 0 .
Propozit , ia 7. (Rotirea unui sistem de vectori ˆın jurul unui punct cu un anumit unghi.) Fie
− → − → − → − → − → − → − →
trei vectori a , b , c ˆın plan astfel ˆıncˆat a + b + c = 0 . Se consider˘a ˆın plan vectorii
− → −→ −→ − → − → − →
u , v , w care formeaz˘a unghiuri egale ¸si la fel orientate cu vectorii a , b , c , astfel ˆıncˆat
−→
−→
−→
| u | | v | |w | − → − → − → − →
−→ = −→ = −→ = k, k ∈ (0, ∞). Atunci w + v + w = 0 .
| a | | b | | c |
− → −→ −→ − → − → − →
Demonstrat¸ie. Sistemul de vectori ( u , v , w ) se obt¸ine prin rotirea sistemului ( a , b , c ) cu
un unghi α ¸si apoi se multiplic˘a cu k. Relat¸ia este evident˘a.
− → − → − → − → − → − → − → − → − →
Observat ,ia 1. Dac˘a a + b + c = d , atunci: w + v + w = s , unde vectorul s se obt¸ine
− →
din d prin rotire cu unghiul dat s , i multiplicare cu k.
−→ −−→ −→ −−→
ˆ
Propozit , ia 8. (Relat , ia lui Sylvester.) In orice triunghi ABC avem relat , ia OA+OB+OC = OH
unde O este centrul cercului circumscris triunghiului s , i H ortocentrul acestuia.
ˆ
Demonstrat¸ie. In cazul cˆand triunghiul ABC este dreptunghic, relat , ia este evident˘a. Dac˘a
−−→ −→ − →
◦
m(A) = 90 atunci H = A s , i O este mijlocul laturii [BC], iar relat , ia se reduce la OB +OC = 0 ,
b
evident adev˘arat˘a. Dac˘a triunghiul nu este dreptunghic, fie D punctul diametral opus lui A ˆın
cercul circumscris triunghiului s , i P mijlocul laturii [BC].
Avem BH⊥AC s , i DC⊥AC, deci BHkDC. Analog CH⊥AB s , i DB⊥AB, deci CHkAB.
Rezult˘a BHCD paralelogram. Obt , inem c˘a mijlocul diagonalei [HD] coincide cu mijlocul P al
laturii [BC].
−−→ −→ −−→ −→ −→
ˆ
In triunghiul AHD, OP este linie mijlocie deci AH = 2OP. Avem OB + OC = 2OP =
−−→ −−→ −→ −→ −−→ −→ −−→
AH = OH − OA de unde OA + OB + OC = OH.