Page 7 - MATINF Nr. 4

ˆ In leg˘atur˘a cu Problema 4093 din Crux Mathematicorum 7

Solut ,ie. Inegalitatea din dreapta.

Folosim inegalitatea m a l a ≥ p (p − a).

Obt , inem:
1 1 4R + r 1 4R + r
X X X
≤ = , care rezult˘a din: = , adev˘arat˘a din
m a l a p (p − a) rp 2 p − a rp
X
1 (p − b) (p − c) r (4R + r)
X 4R + r Q
2
= Q = = , (p − a) = r p s , i
2
p − a (p − a) r p rp
X
(p − b) (p − c) = r (4R + r) .
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.

Inegalitatea din stˆanga.
3
X X X
2
2
2
2
Folosim inegalitatea m a l a ≤ m , inegalitatea lui Bergstr¨om m = a , a =
a
a
4
X
2
2

2
2
2 p − r − 4Rr s , i inegalitatea lui Leibniz a ≤ 9R .
Obt , inem:
1 1 (1 + 1 + 1) 2 9 12 4
X X
≥ ≥ = X ≥ = .
2
2
m a l a m 2 m + m + m 2 c 3 a 2 9R 2 3R 2
a
a
b
4
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
ˆ
Aplicat , ia 6. In 4ABC
32p 3 a 3 b 3 c 3 9
3
≤ + + ≤ 11R − 56r 3 .
81R 2 m a l a m b l b m c l c 4S
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ie. Inegalitatea din dreapta.
Folosim inegalitatea m a l a ≥ p (p − a).
X a 3 X a 3 2
2
2
Obt , inem: ≤ = p (2R − 3r) + r (4R + r) , care rezult˘a din:
m a l a p (p − a) rp
X 3
X a 3 2 2 2 X a 3 a (p − b) (p − c)
= p (2R − 3r) + r (4R + r) , adev˘arat˘a din: = Q =
p − a r p − a (p − a)
2
2
2pr [p (2R − 3r) + r (4R + r)] 2 Q
2
2
2
= p (2R − 3r) + r (4R + r) (p − a) = r p s , i
2
r p r
X
2
2
3
a (p − b) (p − c) = 2pr p (2R − 3r) + r (4R + r) .
3
9
2
2
3
Ar˘at˘am c˘a: [p (2R − 3r) + r (4R + r)] ≤ (11R − 56r ), care rezult˘a din inegalitatea Blundon-
8
2
2
2
Gerretsen p ≤ R(4R+r) 2 ≤ 4R + 4Rr + 3r s , i inegalitatea R ≥ 2r.
2(2R−r)
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
Inegalitatea din stˆanga.