Page 9 - MATINF Nr. 4
P. 9

O aplicatie a articolului ,,An unusual configuration”
                           ,



            Leonard Mihai Giugiuc         1



                ˆ
                In februarie 2017, autorul a trimis spre publicare revistei Crux Mathematicorum din Canada,
            urm˘atoarea Problem˘a deschis˘a: Fie n ≥ 4 s , i fie a 1 , a 2 , . . . , a n ≥ 0 astfel ˆıncˆat

                                                               n (n − 1)
                                                  X
                                                        a i a j =       .
                                                                   2
                                                1≤i<j≤n
            Demonstrat , i c˘a
                                                           √     √
                         É                                                2
                           n − 2                             n −   n − 2
                                  · (a 1 + a 2 + . . . + a n ) +            · a 1 a 2 . . . a n ≥ n − 1.
                             n                                    2
                                                                                                  ˆ
            Autorul, ˆımpreun˘a cu editorii, au ˆıncercat o perioad˘a s˘a o ˆınchid˘a, dar f˘ar˘a succes. In cele din
            urm˘a, ea a fost ˆınchis˘a de c˘atre autor, la ˆınceputul anului 2018. Pentru ˆınceput, vom reaminti
            cˆateva fapte demonstrate ˆın articolul ,,An Unusual Configuration”.

               1. a 1 + a 2 + . . . + a n ≥ n.
                                                               P            n(n−1)
               2. If a 1 , a 2 , . . . , a n are real numbers satisfying  a i a j =  and n ≤ a 1 +a 2 +. . .+a n <
                                                                              2
                                                             1≤i<j≤n
                          È  n
                  (n − 1)       , then all of them are strictly positive.
                            n−2
                                                                P           n(n−1)
               3. If a 1 , a 2 , . . . , a n are real numbers satisfying  a i a j =  and a 1 +a 2 +. . .+a n ≥ n,
                                                                               2
                                                             1≤i<j≤n
                                                                           €  2  Š
                  then there exists t ≥ 1 such that a 1 + a 2 + . . . + a n = n  t +1  .
                                                                              2t
                                  ”         Š
                                     È
            Lemma 1. Let t ∈ 1,          n    be a fixed real number. We consider the positive real num-
                                        n−2
                                                                   €  2  Š        P
            bers a 1 , a 2 , . . . , a n satisfying a 1 + a 2 + . . . + a n = n  t +1  and  a i a j =  n(n−1)  . Then
                                                                      2t                          2
                                                                               1≤i<j≤n
                                            2
                                t n−2 [n−(n−2)t ]
            min (a 1 a 2 . . . a n ) =       .
                                      2
                                             €  2  Š
                Not˘am a 1 + a 2 + . . . + a n · n  t +1  , t ≥ 1.
                                                2t
                                  È
                Cazul 1: 1 ≤ t <      n  .
                                     n−2
                Conform Lemei 1, e suficient s˘a ar˘at c˘a
                                         ‹                          n−2
                                    t + 1                             t   [n − (n − 2) t ]
                      È              2                 È                               2
                        n (n − 2)           + n − 1 −      n (n − 2)                      ≥ n − 1.
                                      2t                                       2
                                   t + 1                             t   [n − (n − 2) t ]
                                   2    ‹                         n−2                2
                     È                                È
                       n (n − 2)           + n − 1 −     n (n − 2)                       ≥ n − 1 ⇔
                                     2t                                       2
               1
                Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin, leonardgiugiuc@yahoo.com
                                                            9
   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14