Page 9 - MATINF Nr. 4

O aplicatie a articolului ,,An unusual configuration”
,

Leonard Mihai Giugiuc 1

ˆ
In februarie 2017, autorul a trimis spre publicare revistei Crux Mathematicorum din Canada,
urm˘atoarea Problem˘a deschis˘a: Fie n ≥ 4 s , i fie a 1 , a 2 , . . . , a n ≥ 0 astfel ˆıncˆat

n (n − 1)
X
a i a j = .
2
1≤i<j≤n
Demonstrat , i c˘a
√ √
É 2
n − 2 n − n − 2
· (a 1 + a 2 + . . . + a n ) + · a 1 a 2 . . . a n ≥ n − 1.
n 2
ˆ
Autorul, ˆımpreun˘a cu editorii, au ˆıncercat o perioad˘a s˘a o ˆınchid˘a, dar f˘ar˘a succes. In cele din
urm˘a, ea a fost ˆınchis˘a de c˘atre autor, la ˆınceputul anului 2018. Pentru ˆınceput, vom reaminti
cˆateva fapte demonstrate ˆın articolul ,,An Unusual Configuration”.

1. a 1 + a 2 + . . . + a n ≥ n.
P n(n−1)
2. If a 1 , a 2 , . . . , a n are real numbers satisfying a i a j = and n ≤ a 1 +a 2 +. . .+a n <
2
1≤i<j≤n
È n
(n − 1) , then all of them are strictly positive.
n−2
P n(n−1)
3. If a 1 , a 2 , . . . , a n are real numbers satisfying a i a j = and a 1 +a 2 +. . .+a n ≥ n,
2
1≤i<j≤n
€ 2 Š
then there exists t ≥ 1 such that a 1 + a 2 + . . . + a n = n t +1 .
2t
” Š
È
Lemma 1. Let t ∈ 1, n be a fixed real number. We consider the positive real num-
n−2
€ 2 Š P
bers a 1 , a 2 , . . . , a n satisfying a 1 + a 2 + . . . + a n = n t +1 and a i a j = n(n−1) . Then
2t 2
1≤i<j≤n
2
t n−2 [n−(n−2)t ]
min (a 1 a 2 . . . a n ) = .
2
€ 2 Š
Not˘am a 1 + a 2 + . . . + a n · n t +1 , t ≥ 1.
2t
È
Cazul 1: 1 ≤ t < n .
n−2
Conform Lemei 1, e suficient s˘a ar˘at c˘a
 ‹ n−2
t + 1 t [n − (n − 2) t ]
È 2 È 2
n (n − 2) + n − 1 − n (n − 2) ≥ n − 1.
2t 2
t + 1 t [n − (n − 2) t ]
 2 ‹ n−2 2
È È
n (n − 2) + n − 1 − n (n − 2) ≥ n − 1 ⇔
2t 2
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin, leonardgiugiuc@yahoo.com
9