Page 13 - MATINF Nr. 4
P. 13
Aplicat¸ii ale calculului vectorial ˆın rezolvarea unor probleme de geometrie 13
Aplicat¸ii
Aplicat , ia 1. (Teorema lui Pappus.) Se consider˘a un triunghi ABC ¸si punctele M ∈ (AB),
AM BN CP
N ∈ (BC), P ∈ (CA) astfel ˆıncˆat: = = . S˘a se demonstreze c˘a triunghiurile
MB NC PA
ABC ¸si MNP au acela¸si centru de greutate.
AM k
Demonstrat¸ie. Fie = k, rezult˘a AM = λAB, BN = λBC, CP = λCA, unde λ = .
MB k + 1
−−→ −−→ −→ −→ −−→ −→ − →
Obt , inem: AM + BN + CP = λ AB + BC + CA = 0 s , i se aplic˘a Propozit , ia 6.
Aplicat , ia 2. Se consider˘a paralelogramul ABCD ¸si punctele M ∈ (AB), N ∈ (BC), P ∈ (CD),
Q ∈ (DA). Fie G 1 , G 2 , G 3 , G 4 centrele de greutate ale triunghiurilor AMQ, BNM, CPN,
respectiv DQP. S˘a se demonstreze c˘a patrulaterul G 1 G 2 G 3 G 4 este paralelogram.
Marian Teler, Concursul, ,Gheorghe T¸it¸eica”, Coste¸sti, 2006
Demonstrat¸ie. Fie O ∈ AC ∩ BD s , i E, F mijloacele segmentelor G 1 G 3 , G 2 G 4 .
Avem:
−−→ 1 −−→ −−→ 1 −→ −−→ −→ −→ −−→ −→
OE = (OG 1 + OG 3 ) = OQ + OM + OA + OC + ON + OP
2 6
1 −→ −−→ −−→ −→ −→ 1 −−→ −−→
= OQ + OM + ON + OP OF = OG 2 + OG 4
6 2
1 −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ 1 −→ −−→ −−→ −→
= OM + ON + OB + OD + OP + OQ = OQ + OM + ON + OP .
6 6
−−→ −→
Rezult˘a OE = OF, E = F, diagonalele patrulaterului G 1 G 2 G 3 G 4 au acelasi mijloc, G 1 G 2 G 3 G 4
este paralelogram.
ˆ
Aplicat , ia 3. In planul paralelogramului ABCD se consider˘a punctele M, N, P, Q astfel ˆıncˆat
−−→ −→ −−→ −−→
AM + CP = BN + DQ. S˘a se demonstreze c˘a MNPQ este paralelogram.
Marian Teler, Problema 24280, GM 3/2000
Demonstrat¸ie. Fie O ∈ AC ∩BD s , i E, F mij-
loacele segmentelor MP, NQ. Avem:
−−→ 1 −−→ −→ 1 −→ −−→ −→ −→
OE = OM + OP = OA + AM + OC + CP
2 2
1 −−→ −→
= AM + CP ,
2
−→ 1 −−→ −→ 1 −−→ −−→ −−→ −−→
OF = ON + OQ = OB + BN + OD + DQ
2 2
1 −−→ −−→
= BN + DQ .
2
−−→ −→ Figura 2
Rezult˘a OE = OF, E = F, diagona-
lele patrulaterului MNPQ au acelas , i mijloc,
MNPQ este paralelogram.
