Page 15 - MATINF Nr. 4

Aplicat¸ii ale calculului vectorial ˆın rezolvarea unor probleme de geometrie 15

2−→ 1−−→
= OG + OM.
3 3
Conform Propozit , iei 4, rezult˘a c˘a punctele M, G o , G sunt coliniare, ⇒ MG o trece prin punctul
fix G.

Aplicat , ia 7. Fie ABC un triunghi ˆınscris ˆıntr-un cerc C ¸si D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB)
DB EC FA
astfel ˆıncˆat = = . Dac˘a AD ∩ C = {M}, BE ∩ C = {N}, CF ∩ C = {P},
DC EA FB
s˘a se arate c˘a triunghiurile ABC ¸si MNP au acela¸si centru de greutate dac˘a ¸si numai dac˘a
triunghiurile BMC, CNA ¸si APB au aceea¸si arie.

Marin Ionescu, Pites , ti

−→ −→
DB EC FA −−→ AB + kAC −−→
Demonstrat¸ie. Dac˘a = = = k se obt¸in relat¸iile: AD = , BE =
EA
DC
−−→ −→ −→ −−→ FB 1 + k
BC + kBA −→ CA + kCB −−→ −−→ −→ − →
, CF = s , i AD + BE + CF = 0 .
1 + k 1 + k
Fie s 1 = σ(BMC), s 2 = σ(CNA), s 3 = σ(APB), s = σ(ABC). Se obt¸in cu u¸surint¸˘a
AD σ(ADB) σ(ADC) σ(ADB) + σ(ADC) s BE s
= = = = s , i analoagele = ;
AM σ(ABM) σ(ACM) σ(ABM) + σ(ACM) s + s 1 BN s + s 2
CF s −−→ s + s 1 −−→ −−→ s + s 2 −−→ −→
= ¸si de aici relat¸iile vectoriale: AM = AD, BN = BE, CP =
CP s + s 3 s s
s + s 3 −→
CF.
s
−−→ −−→ −→
Triunghiurile ABC ¸si MNP au acela¸si centru de greutate ⇔ AM + BN + CP = 0 ⇔
s + s 1 −−→ s + s 2 −−→ s + s 3 −→ −−→ −−→ −→ − →
AD + BE + CF ¸si dac˘a t¸inem cont c˘a AD + BE + CF = 0 , obt¸inem us , or
s s s
s 1 = s 2 = s 3 .

DB EC FA
ˆ
Observat ,ia 2. In cazul = = = 1 se poate ar˘ata c˘a triunghiurile BMC, CNA, APB
DC EA FB
au aceeas , i arie dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul ABC este echilateral.

Probleme propuse

Problema 1. Fie [AB] ¸si [CD] dou˘a coarde perpendiculare ale unui cerc de centru O. Dac˘a
−→ −−→ −→ −−→ −→
AB ∩ CD = P, s˘a se demonstreze relat¸ia: PA + PB + PC + PD = 2 · PO.

(Olimpiada de matematic˘a, Etapa local˘a, Constant¸a 2006)

Problema 2. Se d˘a paralelogramul ABCD ¸si P ∈ BC astfel ˆıncˆat PB > PC. Fie {M} =
AP ∩ DC. S˘a se arate c˘a centrele de greutate ale triunghiurilor AMD, respectiv PMC ¸si
punctul M sunt trei puncte coliniare.

(Abdula Atila, Concursul revistei Arhimede, Bucure¸sti, 2005)

Problema 3. Fie triunghiul ABC ¸si punctul M ∈ Int(ABC). Dac˘a G, G A , G B , G C sunt
centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, MBC, MAC, respectiv MAB, s˘a se arate c˘a
−→ −−→ −→ − →
AG A + BG B + CG C = 0 dac˘a ¸si numai dac˘a M = G.

(Nicolae Papacu, Concursul Gheorghe Mihoc”, Slobozia, 2006)
”