Page 8 - MATINF Nr. 4

8 M. Chirciu

3
X X X
2
2
2
Folosim inegalitatea m a l a ≤ m , inegalitatea lui H¯older, m 2 = a , a =
a
a
4
X 2 2
2
2

2 p − r − 4Rr s , i inegalitatea a ≤ 9R .
Obt , inem:
X a 3 X a 3 (a + b + c) 3 8p 3 32p 3 32p 3
≥ ≥ = X ≥ = .
2
2
2
m a l a m 2 3 (m + m + m ) 9 a 2 9 · 9R 2 81R 2
a a b c
4
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
ˆ
Aplicat , ia 7. In 4ABC
a 4 b 4 c 4 16
3
2
48r ≤ + + ≤ R − 5r 3 .
m a l a m b l b m c l c r
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ie. Inegalitatea din dreapta.
Folosim inegalitatea m a l a ≥ p (p − a).

a 4 a 4
X X 4
2
2
Obt , inem: ≤ = p (R − 2r) + r (5R + 2r) , care rezult˘a din:
m a l a p (p − a) r
X 4
a 4 a 4 a (p − b) (p − c)
X 4p X
2
2
= p (R − 2r) + r (5R + 2r) , adev˘arat˘a din: = Q =
p − a r p − a (p − a)
2
2
2
4p r [p (R − 2r) + r (5R + 2r)] 4p 2 2 Q
2
= p (R − 2r) + r (5R + 2r) (p − a) = r p s , i
2
r p r
X 4 2 2 2
a (p − b) (p − c) = 4p r p (R − 2r) + r (5R + 2r) .
2
2
3
3
Ar˘at˘am c˘a: [p (R − 2r) + r (5R + 2r)] ≤ 4 (R − 5r ), care rezult˘a din inegalitatea lui Gerret-
2
2
2
sen p ≤ 4R + 4Rr + 3r s , i inegalitatea R ≥ 2r.
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
Inegalitatea din stˆanga.
3
X 2 X 2 X 2
2
Folosim inegalitatea m a l a ≤ m , inegalitatea lui Bergstr¨om, m = a , a =
a a
4
3 X X
X
2
2
2
2
2
2
2 p − r − 4Rr , m = a s , i inegalitatea a ≥ 36r .
a
4
Obt , inem:
Š 2
€X 2
2 2
2
2
a 4 a 4 (a + b + c ) a 4 4
X X X
2
2
2
≥ ≥ = X = a ≥ · 36r = 48r .
2
2
m a l a m 2 a m + m + m 2 c 3 a 2 3 3
a
b
4
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.