Page 14 - MATINF Nr. 4

14 M. Ionescu

Aplicat , ia 4. Fie ABC un triunghi oarecare. Pe laturile sale AB, BC, CA construim trei
triunghiuri asemenea ABC 1 , BCA 1 , CAB 1 , la fel orientate. S˘a se arate c˘a:

i) Triunghiurile ABC ¸si A 1 B 1 C 1 au acela¸si centru de greutate.
ii) Cu segmentele AA 1 , BB 1 , CC 1 se poate construi un triunghi.

M Dinc˘a, Problema C:1188, GM 10/1991, (O generalizare a teoremei lui Pappus)

Demonstrat¸ie. Deoarece triunghiurile ABC 1 ,
BCA 1 , CAB 1 sunt asemenea s , i la fel orien-
tate, avem:

BC 1 CA 1 AB 1
= = = k,
BA CB AC
BC 1 = kBA, CA 1 = kCB, AB 1 = kAC.
−→ −→ −−→ − → −−→ −−→ −−→ − →
BA+AC+CB = 0 ⇒ BC 1 +AB 1 +CA 1 = 0 .
Rezult˘a:
−−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ − →
AA 1 +BB 1 +CC 1 = AC+CA 1 +BA+AB 1 +CB+BC 1 = 0 .
Figura 3
Cu aceasta afirmat , iile i) s , i ii) sunt evi-
dente.

Aplicat , ia 5. Fie triunghiul ABC iar
M, N, P mijloacele laturilor AB, BC, CA. Pe
mediatoarele segmentelor AB, BC s , i CA se
consider˘a ˆın interiorul triunghiului punc-
MC 0
0
0
0
tele C , A respectiv B astfel ˆıncˆat =
AB
NA 0 PB 0
= . S˘a se demonstreze c˘a triun-
BC AC
0
0
0
ghiurile ABC s , i A B C au acelas , i centru de
greutate.
C˘alina S , tef˘anescu, Problema C:1152, GM Figura 4
7/1991
0
0
Demonstrat¸ie. Triunghiurile ABC , BCA , CAB 0
sunt asemenea. Se foloses , te Aplicat , ia 4.
Aplicat , ia 6. Fie M un punct mobil ˆın interiorul triunghiului ABC, G a , G b , G c centrele de
greutate ale triunghiurilor BMC, CMA respectiv AMB, iar G o centrul de greutate al triunghiului
G a G b G c .

S˘a se arate c˘a MG o trece printr-un punct fix.

Marius Crainic, Problema 22330, GM 4/1991

−→ −−→ −→
−→ OA + OB + OC
Demonstrat¸ie. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC, OG = .
3
−−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −→ −−→
−−→ OG a + OG b + OG c OC + OB + OM + OB + OA + OM + OA + OC + OM
OG o = =
3 9