Page 14 - MATINF Nr. 4
P. 14

14                                                                                    M. Ionescu



            Aplicat , ia 4. Fie ABC un triunghi oarecare. Pe laturile sale AB, BC, CA construim trei
            triunghiuri asemenea ABC 1 , BCA 1 , CAB 1 , la fel orientate. S˘a se arate c˘a:

               i) Triunghiurile ABC ¸si A 1 B 1 C 1 au acela¸si centru de greutate.
               ii) Cu segmentele AA 1 , BB 1 , CC 1 se poate construi un triunghi.

                         M Dinc˘a, Problema C:1188, GM 10/1991, (O generalizare a teoremei lui Pappus)

            Demonstrat¸ie. Deoarece triunghiurile ABC 1 ,
            BCA 1 , CAB 1 sunt asemenea s , i la fel orien-
            tate, avem:

                      BC 1    CA 1    AB 1
                           =        =       = k,
                      BA       CB      AC
            BC 1 = kBA, CA 1 = kCB, AB 1 = kAC.
            −→ −→ −−→         − →   −−→ −−→ −−→          − →
            BA+AC+CB = 0 ⇒ BC 1 +AB 1 +CA 1 = 0 .
            Rezult˘a:
            −−→ −−→ −−→          −→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→               − →
            AA 1 +BB 1 +CC 1 = AC+CA 1 +BA+AB 1 +CB+BC 1 = 0 .
                                                                                     Figura 3
            Cu aceasta afirmat , iile i) s , i ii) sunt evi-
            dente.

            Aplicat , ia  5. Fie triunghiul ABC iar
            M, N, P mijloacele laturilor AB, BC, CA. Pe
            mediatoarele segmentelor AB, BC s , i CA se
            consider˘a ˆın interiorul triunghiului punc-
                                                  MC  0
                   0
                                   0
                      0
            tele C , A respectiv B astfel ˆıncˆat       =
                                                  AB
             NA 0    PB  0
                  =       . S˘a se demonstreze c˘a triun-
             BC       AC
                               0
                                    0
                                  0
            ghiurile ABC s , i A B C au acelas , i centru de
            greutate.
               C˘alina S , tef˘anescu, Problema C:1152, GM                        Figura 4
                                                   7/1991
                                               0
                                                      0
            Demonstrat¸ie. Triunghiurile ABC , BCA , CAB     0
            sunt asemenea. Se foloses , te Aplicat , ia 4.
            Aplicat , ia 6. Fie M un punct mobil ˆın interiorul triunghiului ABC, G a , G b , G c centrele de
            greutate ale triunghiurilor BMC, CMA respectiv AMB, iar G o centrul de greutate al triunghiului
            G a G b G c .

                S˘a se arate c˘a MG o trece printr-un punct fix.

                                                              Marius Crainic, Problema 22330, GM 4/1991


                                                                                    −→     −−→   −→
                                                                             −→     OA + OB + OC
            Demonstrat¸ie. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC, OG =                       .
                                                                                            3
                        −−→    −−→     −−→     −→    −−→    −−→    −−→    −→    −−→     −→    −→     −−→
                −−→     OG a + OG b + OG c     OC + OB + OM + OB + OA + OM + OA + OC + OM
                OG o =                      =
                                 3                                         9
   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19