Page 11 - MATINF Nr. 4

Aplicat¸ii ale calculului vectorial ˆın rezolvarea unor

probleme de geometrie

Marin Ionescu 1

Prezentul articol abordeaz˘a probleme de geometrie privind centrele de greutate ¸si coliniaritate.
Cˆateva propozit¸ii ¸si rezolvarea mai multor probleme vor scoate ˆın evident¸˘a utilitatea practic˘a a
abord˘arii vectoriale. Folosind calculul vectorial, pozit¸ia unui punct ˆın plan este bine determinat˘a
− → −→
dac˘a se alege un punct fix O al planului ca origine ¸si se cunoa¸ste vectorul r A = OA, numit
vectorul de pozit¸ie al punctului A fat¸˘a de O.
− → −→
Propozit , ia 1. Un vector v = AB este bine determinat de vectorii de pozit¸ie ai punctelor A,
−→ −−→ −→ − → − →
B prin relat¸ia: AB = OB − OA = r B − r A . (Chasles)

Propozit , ia 2. (Vectorul de pozit¸ie al mijlocului unui segment.) Fie A, B dou˘a puncte ˆın plan
−→ −−→
−−→ OA + OB
¸si M mijlocul segmentului [AB] Atunci: OM = .
2

−−→ −−→ − → −−→ 1 −−→ −−→
Demonstrat¸ie. Din AM = MB ⇒ AM + BM = 0 . Obt¸inem: OM = (OM + OM) =
−→ −−→ 2
1 −→ −−→ −−→ −−→ OA + OB
(OA + AM + OB + BM) = .
2 2
Propozit , ia 3. (Vectorul de pozit¸ie al punctului care ˆımparte un segment ˆıntr-un raport dat.)
−→ −−→
−−→ OA + kOB
Fie A, B dou˘a puncte ˆın plan ¸si M ∈ (AB) astfel ˆıncˆat MA = k. Atunci: OM =
MB
1 + k
MA −−→ −−→ − →
Demonstrat¸ie. Din = k, rezult˘a AM = kMB ⇒ AM + kBM = 0 . Obt¸inem:
MB
−→ −−→
−−→ 1 € −−→ −−→ Š 1 € −→ −−→ −−→ −−→ Š OA + kOB
OM = OM + kOM = OA + AM + kOB + kBM = .
1 + k 1 + k 1 + k

Propozit , ia 4. (O condit¸ie vectorial˘a ca trei puncte s˘a fie coliniare.) Punctele A, B, C sunt
−−→ −→ −→
?
coliniare, dac˘a ¸si numai dac˘a: (∃)α ∈ R astfel ˆıncˆat: OB = αOA + (1 − α)OC.
−−→ −→ −→
Demonstrat¸ie. Se obt¸in succesiv urm˘atoarele relat¸ii echivalente: OB = αOA + (1 − α)OC,
−−→ −→ −→ −→ −−→ −→
OB − OC = α(OA − OC), CB = αCA, punctele A, B, C sunt coliniare.

Propozit , ia 5. (Vectorul de pozit¸ie al centrului de greutate al unui triunghi.) Fie ABC un
−→ −−→ −→
−→ OA + OB + OC
triunghi ¸si G centrul s˘au de greutate. Atunci: OG = .
3
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Zinca Golescu”, Pites , ti, marin.ionescu61@gmail.com

11