Page 11 - MATINF Nr. 4
P. 11

Aplicat¸ii ale calculului vectorial ˆın rezolvarea unor

            probleme de geometrie




            Marin Ionescu      1



                Prezentul articol abordeaz˘a probleme de geometrie privind centrele de greutate ¸si coliniaritate.
            Cˆateva propozit¸ii ¸si rezolvarea mai multor probleme vor scoate ˆın evident¸˘a utilitatea practic˘a a
            abord˘arii vectoriale. Folosind calculul vectorial, pozit¸ia unui punct ˆın plan este bine determinat˘a
                                                                                          − →    −→
            dac˘a se alege un punct fix O al planului ca origine ¸si se cunoa¸ste vectorul r A = OA, numit
            vectorul de pozit¸ie al punctului A fat¸˘a de O.
                                       − →   −→
            Propozit , ia 1. Un vector v = AB este bine determinat de vectorii de pozit¸ie ai punctelor A,
                            −→     −−→    −→     − →   − →
            B prin relat¸ia: AB = OB − OA = r B − r A . (Chasles)

            Propozit , ia 2. (Vectorul de pozit¸ie al mijlocului unui segment.) Fie A, B dou˘a puncte ˆın plan
                                                              −→    −−→
                                                      −−→     OA + OB
            ¸si M mijlocul segmentului [AB] Atunci: OM =                .
                                                                  2

                                                  −−→    −−→      − →             −−→      1 −−→    −−→
            Demonstrat¸ie. Din AM = MB ⇒ AM + BM = 0 . Obt¸inem: OM =                       (OM + OM) =
                                            −→    −−→                                      2
             1 −→    −−→     −−→   −−→      OA + OB
              (OA + AM + OB + BM) =                   .
             2                                  2
            Propozit , ia 3. (Vectorul de pozit¸ie al punctului care ˆımparte un segment ˆıntr-un raport dat.)
                                                                                                −→      −−→
                                                                                        −−→     OA + kOB
            Fie A, B dou˘a puncte ˆın plan ¸si M ∈ (AB) astfel ˆıncˆat  MA  = k. Atunci: OM =
                                                                      MB
                                                                                                   1 + k
                                 MA                                 −−→     −−→     − →
            Demonstrat¸ie. Din        = k, rezult˘a AM = kMB ⇒ AM + kBM = 0 . Obt¸inem:
                                 MB
                                                                                          −→      −−→
                  −−→       1   € −−→     −−→ Š      1   € −→    −−→     −−→     −−→  Š   OA + kOB
                  OM =           OM + kOM =               OA + AM + kOB + kBM =                       .
                          1 + k                    1 + k                                     1 + k




            Propozit , ia 4. (O condit¸ie vectorial˘a ca trei puncte s˘a fie coliniare.) Punctele A, B, C sunt
                                                                    −−→      −→           −→
                                                     ?
            coliniare, dac˘a ¸si numai dac˘a: (∃)α ∈ R astfel ˆıncˆat: OB = αOA + (1 − α)OC.
                                                                                 −−→      −→             −→
            Demonstrat¸ie. Se obt¸in succesiv urm˘atoarele relat¸ii echivalente: OB = αOA + (1 − α)OC,
            −−→    −→       −→     −→ −−→        −→
            OB − OC = α(OA − OC), CB = αCA, punctele A, B, C sunt coliniare.

            Propozit , ia 5. (Vectorul de pozit¸ie al centrului de greutate al unui triunghi.) Fie ABC un
                                                                   −→    −−→    −→
                                                            −→     OA + OB + OC
            triunghi ¸si G centrul s˘au de greutate. Atunci: OG =                   .
                                                                           3
               1
                Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Zinca Golescu”, Pites , ti, marin.ionescu61@gmail.com

                                                           11
   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16