Page 6 - MATINF Nr. 4

6 M. Chirciu

ˆ
Aplicat , ia 3. In 4ABC

 ‹ 2 2 2 2  ‹
4r a b c R
≤ + + ≤ 4 − 1 .
R m a w a m b w b m c w c r

Solut ,ie. Vezi inegalit˘at , ile din Aplicat , iile 1 s , i 2.

Egalit˘at , ile au loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
ˆ
In aceeas , i clas˘a de probleme propunem:

ˆ
Aplicat , ia 4. In 4ABC
8p a b c 2  2R ‹
≤ + + ≤ − 1 .
R 2 m a l a m b l b m c l c p r

Marin Chirciu, Pites , ti

Solut ,ie. Inegalitatea din dreapta.

Folosim inegalitatea m a l a ≥ p (p − a).

X a X a 2 (2R − r) X a 2 (2R − r)
Obt , inem: ≤ = , care rezult˘a din: = ,
m a l a p (p − a) rp p − a r
X
X a a (p − b) (p − c) 2pr (R − r) 2 (2R − r) Q
2
adev˘arat˘a din = Q = = , (p − a) = r p s , i
2
p − a (p − a) r p r
X
a (p − b) (p − c) = 2pr (2R − r) .

Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.

Inegalitatea din stˆanga.
p
X
2
2
2
2
Folosim inegalitatea m a l a ≤ m . am = p + 5r + 2Rr inegalitatea lui Gerretsen
a
a
2
2
2
p ≥ 16Rr − 5r s , i inegalitatea lui Euler R ≥ 2r. Obt , inem:
a a a 2 (a + b + c) 2
X X X
≥ = ≥
2
2
m a l a m 2 a am 2 a am + bm + cm 2
a
c
b
4p 2 8p 8p
= p 2 2 = 2 2 ≥ 2 .
2 (p + 5r + 2Rr) p + 5r + 2Rr 9R
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
ˆ
Aplicat , ia 5. In 4ABC
4 1 1 1 1  4R ‹
≤ + + ≤ + 1 .
3R 2 m a l a m b l b m c l c p 2 r
Marin Chirciu, Pites , ti