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PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 73

9. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = 1 s , i F : R → R, F(x) = R x f(t)dt. Atunci:
2+cos x 0
√ x
tg
2
tg x
a) F(x) = 3 arctg ( √ ), ∀x ∈ [0, π]; b) F(x) = √ arctg ( √ ), ∀x ∈ [0, π];
2
2 3 3 3
√ √ x
tg
tg x
c) F(x) = 3 arctg ( √ ), ∀x ∈ [0, π]; d) F(x) = 2 3arctg ( √ ), ∀x ∈ [0, π];
2
2 2 3 3
x
tg
2
2
e) F(x) = √ arctg ( √ ), ∀x ∈ [0, π].
3 3
∗
R 2 2 n
10. Se consider˘a s , irul (I n ) ∗ definit prin I n = (2x − x ) dx, ∀n ∈ N . Atunci:
n∈N 0
∗
∗
a) I n = n I n−1 , ∀n ∈ N , n ≥ 2; b) 2I n = 2n I n−1 , ∀n ∈ N , n ≥ 2;
n+1 n+1
∗
∗
c) I n = 2n I n−1 , ∀n ∈ N , n ≥ 2; d) (n + 1)I n = 2nIn − 1, ∀n ∈ N , n ≥ 2;
2n+1
∗
e) 2nI n = (n + 1)I n−1 , ∀n ∈ N , n ≥ 2.
π n
∗
11. S˘a se determine n minim, n ∈ N , pentru care (cos π + i sin ) ∈ Z :
3 3
a) n = 1; b) n = 5; c) n = 2; d) n = 3; e) n = 4.
12. Raza cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi dreptunghic avˆand lungimile catetelor a, b, iar
lungimea ipotenuzei c este:
a) ac ; b) bc ; c) ab ; d) abc ; e) a+b+c .
a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c abc
13. Dac˘a A, B, C sunt unghiurile unui triunghi, atunci cos A + cos B + cos C este:
C
C
C
a) 1 − 4 sin A sin B sin ; b) 1 + 4 sin A cos B cos ; c) 1 + 4 cos A sin B sin ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2
C
C
d) 1 − 4 cos A sin B sin ; e) 1 + 4 sin A sin B sin .
2 2 2 2 2 2
14. Solut , iile ecuat , iei sin(4arctg x) = 1 sunt:
a) S = {tg π + kπ | k ∈ Z}; b) S = {tg π + kπ | k ∈ Z};
8 2 4 2
π
c) S = {tg − + kπ | k ∈ Z}; d) S = {tg π + kπ | k ∈ Z};
8 2 8 8

e) S = {tg − 3π + 2kπ | k ∈ Z}.
8 √
2
15. S˘a se calculeze sin x, s , tiind c˘a ctg x = 2 6 :
a) 2 ; b) 3 ; c) 1 ; d) 4 ; e) 5 .
23 22 25 27 21
Testul 2
D.M.I. 2
1. Se consider˘a funct¸ia
ß 2
x + 2mx − 1 dac˘a x ≤ 0
f : R → R, f(x) = , (m 6= 0).
mx − 1 dac˘a x > 0
Funct¸ia este injectiv˘a pentru
a) m ∈ (−∞, 0); b) m ∈ (−∞, 1); c) m ∈ (0, ∞); d) m ∈ (2, ∞); e) m ∈ (1, ∞).

» √ √
p
2. Num˘arul t = 17 − 4 9 + 4 5 − 5 este egal cu
√ √ √ √
a) t = −2; b) t = 2 + 5; c) t = 2 − 5; d) t = 5 − 1; e) t = 2 5.
2
Universitatea din Pites , ti, revista.matinf@upit.ro