Page 69 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 69

SUBIECTUL al II-lea
x + 2
x
Se consider˘a funct , ia f : R \ {1} → R, f(x) = e .
x + 1
a) S˘a se determine imaginea funct , iei f.
b) S˘a se studieze existent , a asimptotelor la graficul funct , iei.
x
c) Pentru m ∈ R s˘a se determine num˘arul r˘ad˘acinilor reale ale ecuat , iei f(x) = (m − x)e .
n
ï
R f(x) ò 2
d) S˘a se calculeze lim dx.
n→∞ xe x
1
SUBIECTUL al III-lea
ˆ 4 8 16
In planul xOy se consider˘a punctele A(−2, ), B(6, 4), C(4, − ) s , i D(−4, − ).
3 3 3
a) S˘a se arate c˘a punctele A, B, C, D formeaz˘a un paralelogram.
b) S˘a se arate c˘a punctele A, O, C sunt coliniare, dar punctele B, O, D nu sunt coliniare.
1
c) Pe diagonala AC se consider˘a punctul M astfel ˆıncˆat AM = AC s , i punctul N pe latura
6
1
AD astfel ˆıncˆat AN = AD. S˘a se demonstreze c˘a punctele B, M, N sunt coliniare.
5
d) S˘a se determine aria triunghiului AMN.
Testul 3

D.M.I. 3

Algebr˘a

1. S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat:

2
2
x + y − 4x − 4y + m > 0,
pentru orice x, y ∈ R.
2. Demonstrat , i c˘a:

n
n
∗
n
2 ≤ (1 − x) + (1 + x) ≤ 2 , ∀x ∈ (−1, 1), ∀n ∈ N .
Discutat , i cazurile de egalitate.
3. Fie funct , ia polinomial˘a

3
f : [0, 1] → [0, 1], f(x) = x + ax + b, unde a, b ∈ R.

S˘a se arate c˘a ˆın mod necesar a ≤ 0 s , i b ≥ 0.
3
4. S˘a se rezolve ˆın R sistemul

 βx + αy = γ
γx + αz = β
γy + βz = α

unde α, β, γ sunt parametrii reali.
5. Fie K mult , imea tuturor matricelor A ∈ M 2 (R) de forma

Å ã
a b
A = , a, b ∈ R.
−b a
3
Universitatea din Pites , ti, revista.matinf@upit.ro