Page 68 - MATINF Nr. 3

˘
68 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Teste pentru admiterea la facultate

Testul 1
Maria-Crina Diaconu 1

SUBIECTUL I
Å ã ß
1 1 1 x + y + z = 1
Se consider˘a matricea M = s , i sistemul , (x, y, z) ∈ C × C × C.
1 1 0 x + y = 0
a) S˘a se rezolve sistemul.
b) S˘a se arate c˘a ecuat , ia MX = I 2 , cu X ∈ M 3,2 (C) are o infinitate de solut , ii.
c) S˘a se arate c˘a ecuat , ia Y M = I 3 , cu Y ∈ M 3,2 (C) nu are solut , ie.

SUBIECTUL al II-lea

Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = sin x + 1 + x 2 . Not˘am prin f (n) (x) derivata de ordin
2
n a funct , iei f ˆın punctul x.
a) S˘a se arate c˘a f (2) (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
2
x + π 2 (x + π) 2 x
b) S˘a se demonstreze relat , ia sin x + ≥ + 2 cos .
2 4 2
R π 2
c) Calculat , i: 2 [f(x) − x − 1] max(sin x, cos x)dx.
0 2
SUBIECTUL al III-lea
2
Se d˘a E(x) = 1 − , x ∈ R \ kπ | k ∈ Z .
tg x − ctg x 4
5π
a) S˘a se calculeze E( ) − 2E( 11π ).
6 3
b) S˘a se arate c˘a E(x) = 1 + tg (2x), pentru orice x ∈ R \ kπ | k ∈ Z .
4
c) S˘a se rezolve ecuat , ia trigonometric˘a tg x + tg 2x = tg 3x.

Testul 2

Jane Vieru 2

SUBIECTUL I

Se consider˘a legea de compozit , ie ,,∗” pe mult , imea numerelor reale, x∗y = 5xy −5x−5y +m,
m ∈ R.
a) S˘a se determine m ∈ R, cunoscˆand c˘a legea ,,∗” este asociativ˘a.
5
0
0
b) Pentru m = 6, s˘a se rezolve ecut , ia x ∗ x = 1 + , unde x este simetricul lui x.
x
c) Se consider˘a G = (1, ∞). Pentru m = 6, s˘a se rezolve ˆın G sistemul de ecuat , ii
 2 2 2
 x ∗ y = z
2
2
x ∗ z 2 = y .
y ∗ z = x
 2 2 2
2
2
2
d) Pentru m = 6 s˘a se calculeze 1 ∗ 2 ∗ · · · ∗ 2020 .
1
Asist. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, crynutza 25@yahoo.com
2
Profesor, Liceul Tehnologic ,,Victor Sl˘avescu” Ruc˘ar, jane.vieru@yahoo.com