Page 71 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 71

Geometrie s , i Trigonometrie

1. a) Fie d o dreapt˘a care trece prin centrul de greutate al unui triunghi s , i nu cont , ine nici
un vˆarf al acestuia. S˘a se arate c˘a suma distant , elor celor dou˘a vˆarfuri situate de
aceeas , i parte a dreptei la aceast˘a dreapt˘a este egal˘a cu distant , a celui de-al treilea
vˆarf la dreapta d.
b) Ar˘atat , i c˘a distant , a de la centrul de greutate al unui triunghi la o dreapt˘a exterioar˘a
din planul s˘au este media aritmetic˘a a distant , elor celor trei vˆarfuri la aceast˘a dreapt˘a.
0
0
0
0
2. Se consider˘a dou˘a puncte distincte M s , i N interioare cubului ABCDA B C D de latur˘a
0
0
a. Fie M s , i N proiect , iile lor pe una din fet , ele cubului. Se cere:
√
0
0
a) Aria(MNN M ) < a 2 2.
√
b) MN < a 3.
c) Dac˘a se iau nou˘a puncte interioare cubului, atunci exist˘a dou˘a dintre ele avˆand
√
distant , a mai mic˘a decˆat a 3 .
2
3. a) S˘a se arate c˘a ˆın orice triunghi ABC avem:
2
b + c 2
1 + cos A cos(B − C) = .
4R 2
b) S˘a se discute s , i s˘a se rezolve ecuat , ia:
cos 2x + (2m − 1) sin x + m − 1 = 0, m ∈ R.
4. Fie A(1, 3) s , i B(2, 5) dou˘a puncte din planul xOy. Se cere:

a) S˘a se determine punctul M(α, 0) astfel ˆıncˆat MA + MB s˘a fie minim˘a.
b) S˘a se scrie ecuat , ia locului geometric al punctului P din plan cu proprietatea PA⊥PB.

(Admiterea la Universitatea din Pites , ti, specializ˘arile Matematic˘a s , i Matematic˘a-Informatic˘a, 1996)