Page 70 - MATINF Nr. 3

˘
70 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

a) Ar˘atat , i c˘a mult , imea K este o parte stabil˘a a lui M 2 (R) ˆın raport cu adunarea s , i
ˆınmult , irea matricelor s , i c˘a operat , iile induse confer˘a lui K o structur˘a de corp.
b) Dac˘a tripletul (C, +, ·) reprezint˘a corpul numerelor complexe, stabilit , i izomorfismul:

(C, +, ·) ' (K, +, ·).

Analiz˘a Matematic˘a

1. Fie (a n ) n≥1 s , i (b n ) n≥1 dou˘a s , iruri de numere reale convergente s , i (c n ) n≥1 cu termenul
general dat de
c n = max{a n , b n }, ∀n ≥ 1.
a) S˘a se arate c˘a s , irul (c n ) n≥1 este convergent.
b) S˘a se calculeze limitele s , irurilor cu termenii generali:

n
1 1
ßÅ ã n Å ã ™
c n = max − , − , ∀n ≥ 1
2 3
ßÅ 1 ã n n ™
0
c = max − , , ∀n ≥ 1.
n
2 n + 1
2. a) Dat , i definit , ia not , iunii de limit˘a a unei funct , ii ˆıntr-un punct.
b) Studiat , i existent , a limitei ˆın punctul x 0 = 0 pentru funct , ia

ß x
e , dac˘a x < 0
f : R → R, f(x) =
2
x + x, dac˘a x ≥ 0
3. Fie funct , ia

ß 2
x + (a − 2)x + 1 − a, dac˘a x < 1
f : R → R, f(x) =
b · ln x, dac˘a x ≥ 1
cu parametri a, b din R.
a) S˘a se studieze continuitatea funct , iei f pe R.
b) S˘a se studieze derivabilitatea funct , iei f pe R.
c) Pentru cazul a = b s˘a se determine parametrul real astfel ˆıncˆat funct , ia f s˘a admit˘a
un punct de extrem local.
4. Fie funct , ia
2
x − 3|x − 2|
f : [0, 4] → R, f(x) = .
2
x + 1
a) Ar˘atat , i c˘a f este integrabil˘a.
R 4
b) Calculat , i f(x)dx.
0
5. Fie
x 1
Z
I(x) = √ du, x > 1.
√ 2
2 u u − 1
1
a) S˘a se calculeze I(x), folosind schimbarea de variabil˘a u = .
t
b) S˘a se rezolve ecuat , ia
π
I(x) = .
12