Page 66 - MATINF Nr. 3

˘
66 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

b) Pentru a = 2 determinat , i solut , iile ecuat , iei P(X) = 0. (5p)

c) Ar˘atat , i c˘a pentru a = 0, solut , iile x 1 , x 2 , x 3 ale ecuat , iei P(X) = 0 verific˘a relat , ia
10
10
x + x + x 10 = 62. (5p)
1 2 3
SUBIECTUL al III-lea (30p)
2
x + px + p
1. Se consider˘a funct , ia f : R \ {−q} → R, f(x) = , unde p s , i q ∈ R.
x + q
0
a) Pentru p = q = 2, calculat , i f(0) + f (0). (5p)
b) Pentru p = q = 2, determinat , i intervalele de monotonie ale funct , iei f. (5p)

Å ã x
f(x)
c) G˘asit , i o relat , ie ˆıntre p s , i q astfel ˆıncˆat lim = 1. (5p)
x→∞ x
2
2. Se consider˘a funct , iile f m : R → R, f m (x) = x + mx + 1 s , i s , irul de integrale (I n ) n∈N ∗,
Z 1 x n
I n = dx.
f 0 (x)
0
2
Z
a) Aflat , i m ∈ R astfel ˆıncˆat f m (x)dx = 10/3. (5p)
1
b) Calculat , i I 1 . (5p)
1
∗
c) Ar˘atat , i c˘a I n+2 + I n = , ∀ n ∈ N . (5p)
n + 1

TESTUL 5

Antonio-Mihail Nuic˘a 5

SUBIECTUL I (30p)
Ç √ å 2020
1 3
1. S˘a se determine − + i . (5p)
2 2

2
2. S˘a se rezolve ˆın R ecuat , ia log (x − 3x + 4) = 1. (5p)
2
2
3. S˘a se determine m ∈ R pentru care vˆarful parabolei de ecuat , ie y = x − 2mx + 1 este ˆın
cadranul I. (5p)
∗
2n
2
0
4. S˘a se calculeze C 2n + C 2n + . . . + C , n ∈ N . (5p)
2n
1
5. S˘a se rezolve ˆın R ecuat , ia sin 2x = . (5p)
2
6. S˘a se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, cu A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2).
(5p)
SUBIECTUL al II-lea (30p)

 x − y + z = 1
1. Se consider˘a sistemul x + y + z = 3 , unde m ∈ R.
mx + y + z = 3m

5
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, antonio.nuica@upit.ro