Page 67 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 67

a) S˘a se determine m ∈ R pentru care sistemul are solut , ie unic˘a. (5p)

b) Pentru m = 2 s˘a se rezolve sistemul. (5p)

c) Pentru m = 1 s˘a se rezolve sistemul. (5p)
Ñ é
1 0 x
2. Se consider˘a matricele de forma A(x) = 0 3 x 0 , x ∈ R s , i G = {A(x) | x ∈ R}.
0 0 1

a) S˘a se arate c˘a G este parte stabil˘a ˆın M 3 (R) ˆın raport cu ˆınmult , irea matricelor. (5p)
b) S˘a se arate c˘a (G, · ) este grup s , i este izomorf cu grupul (R, + ). (5p)

c) S˘a se calculeze A(x) 2020 . (5p)

SUBIECTUL al III-lea (30p)
2
1. Se consider˘a funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = x ln x.
a) S˘a se arate c˘a f poate fi prelungit˘a prin continuitate ˆın 0. (5p)

b) S˘a se determine punctele de extrem ale prelungirii prin continuitate a lui f. (5p)

c) S˘a se determine intervalele de convexitate s , i punctele de inflexiune ale lui f. (5p)
1 x
Z
2. Fie I m,n = √ dx, m, n ∈ N, n ≥ 2.
n m
0 x + 1
a) S˘a se calculeze I 2,2 . (5p)

b) S˘a se calculeze I 4,2 . (5p)
c) S˘a se calculeze lim I 2,n . (5p)
n→∞