Page 65 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 65

SUBIECTUL al III-lea (30p)

x
1. Fie funct , ia f : (−1, ∞) → R, f(x) = e − ln(x + 1) − 1.
a) S˘a se determine asimptotele funct , iei f. (5p)

b) S˘a se determine ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei ˆın punctul de abscis˘a x 0 = 0. (5p)
x
c) Demonstrat , i c˘a e ≥ 1 + ln(1 + x), ∀ x ≥ 0. (5p)
ln x
2. Se consider˘a funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = .
x
a) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este strict cresc˘atoare pe intervalul (1, ∞). (5p)
Z e
b) S˘a se calculeze f(x)dx. (5p)
1
c) Determinat , i aria suprafet , ei plane cuprinse ˆıntre graficul funct , iei f, axa Ox s , i dreptele de
ecuat , ii x = 1/e s , i x = e. (5p)

TESTUL 4

Mihaela Gabor 4

SUBIECTUL I (30p)
√
1. Ar˘atat , i c˘a numerele a = 4 16, b = 3!, c = log 1024 formeaz˘a o progresie aritmetic˘a. (5p)
2
2
2. Determinat , i imaginea funct , iei f : [0, 5] → R, f(x) = x − 4x + 1. (5p)
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log 64 = 2. (5p)
2x
4. Care este probabilitatea ca alegˆand o funct , ie f : {1, 2} → {3, 4, 5}, aceasta s˘a fie bijectiv˘a?
(5p)
−→ −→
5. Fie ABCDEF un hexagon regulat cu latura 3. Calculat , i AB · FE. (5p)

6. Determinat , i num˘arul real m pentru care punctele A(1, m), B(m, 4), C(3, m + 4) sunt
coliniare. (5p)

SUBIECTUL al II-lea (30p)

 Ñ é
 ax + by + cz = 4 a b c
1. Se consider˘a sistemul cx + ay + bz = 4 , unde a, b, c ∈ R s , i fie A = c a b
x + y + z = 3 1 1 1

matricea sistemului.
t
t
a) Calculat , i A · A , unde cu A s-a notat matricea transpus˘a. (5p)
b) Pentru b = c = 1 s , i a = 2 rezolvat , i sistemul dat. (5p)
c) Dac˘a matricea A nu este inversabil˘a iar a, b, c reprezint˘a laturile unui triunghi, ar˘atat , i c˘a
triunghiul este echilateral. (5p)

3
2
2. Se consider˘a polinomul P(X) = X − aX − X + 2, a ∈ R.
a) Pentru a = −2 calculat , i P(i). (5p)
4
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Constantin Carabella”, Tˆargovis , te, mihaela gab0r@yahoo.com