Page 64 - MATINF Nr. 3

˘
64 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

c) Determinat , i intervalele de monotonie ale funct , iei f. (5p)

1
Z
n x
2. Se consider˘a s , irul (I n ) n>0 , I n = (1 + x) e dx.
0
a) Calculat , i I 2 . (5p)

n
b) Ar˘atat , i c˘a I n + nI n−1 = 2 e − 1. (5p)
c) Calculat , i lim I n . (5p)
n→∞

TESTUL 3

Daniel Valentin Fugulin 3

SUBIECTUL I (30p)
1 + i
1. Calculat , i partea imaginar˘a a num˘arului complex z = . (5p)
1 − i
2
2. Aflat , i m ∈ R astfel ˆıncˆat r˘ad˘acinile x 1 , x 2 ale ecuat , iei x + 2mx + 5 = 0 s˘a verifice relat , ia
2
2
x + x = 26. (5p)
1
2
√
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x − 1 = x − 1. (5p)
4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand o submult , ime din mult , imea tuturor submult , imilor
nevide ale mult , imii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, submult , imea aleas˘a s˘a cont , in˘a un num˘ar impar de
elemente. (5p)
− → − → − → − → − → − →
5. Determinat , i m ∈ R astfel ˆıncˆat vectorii u = i + 3 j s , i v = (m − 1) i + 2 j s˘a fie
perpendiculari. (5p)
π π
6. S˘a se calculeze sin · cos . (5p)
8 8
SUBIECTUL al II-lea (30p)


 mx + y + z = 0
1. Se consider˘a sistemul x + 3y + 2z = 0 , m parametru real.
x − 2y − z = 0

a) Calculat , i determinantul matricei sistemului. (5p)

b) S˘a se determine m pentru care sistemul are o infinitate de solut , ii. (5p)
2
c) Pentru m = 2 determinat , i solut , ia (x 0 , y 0 , z 0 ) pentru care 2x 0 + y 0 = z − 2. (5p)
0
3
2. Fie f ∈ R[X], f = X + pX + q, unde x 1 , x 2 , x 3 sunt r˘ad˘acinile complexe ale acestuia.
a) Calculati f(1) + f(−1). (5p)

b) Demonstrat , i c˘a pentru orice p > 0, polinomul nu are toate r˘ad˘acinile reale. (5p)

c) S˘a se determine p, q s , i r˘ad˘acinile polinomului f, s , tiind c˘a x 1 = 2 − i este o r˘ad˘acin˘a a
polinomului. (5p)

3
Profesor, Liceul teoretic ,,Ion Mihalache”, Topoloveni, danfugulin@yahoo.com