Page 63 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 63

a) Calculat , i I 0 . (5p)

1
b) Ar˘atat , i c˘a I n+2 − 5I n+1 + 6I n = . (5p)
n + 1
c) Calculat , i lim nI n . (5p)
n→∞

TESTUL 2

Marius Macarie 2

SUBIECTUL I (30p)

3 + 4i
1. Determinat , i partea real˘a s , i partea imaginar˘a a num˘arului complex z = . (5p)
3 − i
2
2. Fie f : R → R, f(x) = 3x + 5x − m, m ∈ R. Determinat , i parametrul real m astfel ˆıncˆat
vˆarful parabolei asociate s˘a fie ˆın al doilea cadran. (5p)
2
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log (x − 6x + 9) = 2. (5p)
3
4. Aflat , i num˘arul funct , iilor injective f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} pentru care f(1) = 4. (5p)

5. Determinat , i ecuat , ia perpendicularei pe dreapta de ecuat , ie 2x + 3y − 5 = 0, care trece
prin A(2, 3). (5p)
6. Ar˘atat , i c˘a pentru orice x ∈ R are loc relat , ia sin(2π+x) cos(π−x)+sin(π−x) cos(2π+x) = 0.
(5p)

SUBIECTUL al II-lea (30p)

1 1 1

a
1. Se consider˘a determinantul D(a, b) = 2 2 2 b , a, b ∈ R.

4 4 a 4 b
a) Calculat , i D(1, 2). (5p)
a
b
b) Ar˘atat , i c˘a D(a, b) = 4(2 a−1 − 1)(2 b−1 − 1)(2 − 2 ). (5p)
2
c) Rezolvat , i ˆın R ecuat , ia D(x, x ) = 0. (5p)
2
3
4
2. Fie polinomul f = X − mX + nX − 4X + 4, m, n ∈ R.
a) Determinat , i parametrii reali m s , i n astfel ˆıncˆat polinomul s˘a admit˘a dou˘a r˘ad˘acini duble.
(5p)
b) Pentru m = 4 s , i n = 5 determinat , i r˘ad˘acinile polinomului. (5p)

2
c) Ar˘atat , i c˘a pentru orice m < 2n polinomul nu are toate r˘ad˘acinile reale. (5p)
SUBIECTUL al III-lea (30p)
2
x + 2
1. Fie funct , ia f : R \ {1} → R, f(x) = .
|x − 1|
0
a) Calculat , i f (x). (5p)
b) Verificat , i dac˘a funct , ia admite asimptote. (5p)

2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, macariem@yahoo.com