Page 61 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 61

b) Ar˘atat , i c˘a M (−1) · M (0) = M (−1).
c) Determinat , i numerele reale x pentru care det (M (x)) = 0.
2
3
2. Se consider˘a polinomul f = X − aX − X + 1, a ∈ R.
a) Ar˘atat , i c˘a f (1) − f (2) − 3a = −6, pentru orice num˘ar real a.
2
b) Pentru a = 2 calculat , i cˆatul s , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f la polinomul x − x − 1.
c) Determinat , i num˘arul real a pentru care are loc egalitatea:

x 1 + x 2 + x 3 − (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) + x 1 · x 2 · x 3 = 2019,

unde x 1 , x 2 , x 3 sunt r˘ad˘acinile polinomului f.

SUBIECTUL al III-lea
1. Se consider˘a funct , ia f : (−1, +∞) → R, f (x) = 1 + 1 .
x+1 x+2
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = − 1 2 − 1 2 , x ∈ (−1, +∞).
(x+1) (x+2)
b) Determinat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 0, situat
pe graficul funct , iei f.
c) Determinat , i imaginea funct , iei f.
2
2. Se consider˘a funct , ia f : (0, +∞) → R, f (x) = 2x −2 .
x
1
R
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) + 2 dx = 1.
x
0
2
b) Demonstrat , i c˘a funct , ia F : (0, +∞) → R, F (x) = x − 2 ln x + 2019 este o primitiv˘a
a funct , iei f.
c) Ar˘atat , i c˘a volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct , iei
g : [1, 2] → R , g (x) = f (x) este mai mare decˆat 3π.