Page 24 - MATINF Nr. 3

24 M. Molodet ,

14. Folosim proprietatea ,,Un trapez dreptunghic ˆın care ˆın˘alt , imea este medie
geometric˘a a bazelor este ortodiagonal”.

Justificare: Luˆand E ∈ AB, ca ˆın Figura
19, cu EA = DC, vom avea c˘a EACD pa-
ralelogram ⇒ ED k AC. Cum 4AED s , i
2
4ADB sunt dreptunghice ˆın A s , i AD =
AE · AB ⇒ AD = AB , deci 4AED ∼
AE AD
4ADB ⇒ ^ADE s , i ^ADB complementare
⇒ ED⊥DB. Cum ED k AC ⇒ AC⊥BD.
Figura 19
ˆ
Aplicat , ia 14. In cubul OLANESTI, not˘am
mijlocul segmentului [ET] cu litera R. Ar˘atat , i
c˘a OR⊥AE.

(Concurs X-OL”- Ol˘anes , ti 2017, Mihaela
”
Molodet , - enunt , part , ial)

√ √
Demonstrat¸ie. ER = a 2 , OA = a 2,
2
EO = a ⇒ EO 2 = ER · OA. Cum
OARE este trapez dreptunghic, rezult˘a
OR⊥AE. Figura 20

Desigur, nu am epuizat metodele folositeˆın demonstrat , ii (vezi, de exemplu, una din reciprocele
Teoremei ˆın˘alt , imii sau Teoremei catetei sau metode ˆınv˘at , ate la liceu). Materialul se dores , te
a fi util elevilor din clasa a VIII-a pentru preg˘atirea Evalu˘arii Nat , ionale, de aceea nici gradul
de dificultate nu este unul ridicat, urm˘arind mai degrab˘a consolidarea s , i fixarea cunos , tint , elor
s , i dobˆandirea unei dexterit˘at , i ˆın aplicarea teoriei, aceste demonstrat , ii f˘acˆand parte, uneori,
dintr-un rat , ionament complex, riguros. Evident, demonstrarea perpendicularit˘at , ii unei drepte
pe un plan sau a dou˘a plane se reduce la perpendicularitatea dreptelor.

L˘as˘am cititorului bucuria de a descoperi, la aceleas , i probleme, alte metode de rezolvare.