Page 22 - MATINF Nr. 3

22 M. Molodet ,

Aplicat , ia 9. Pe laturile triunghiului ABC
echilateral se construiesc p˘atratele ABMN,
respectiv ACPQ, ambele exterioare sau am-
bele neexterioare triunghiului. Fie D mijlocul
lui [BC]. Ar˘atat , i c˘a AD⊥NQ.

(Mihaela Molodet , )

Figura 14

Demonstrat¸ie. Cazul I (Figura 13). AQ = AC = AB = AN ⇒ 4AQN isoscel s , i m (^NAQ) =
◦
◦
◦
◦
◦
120 (= 360 − 90 − 60 − 90 ). Fie R mijlocul lui [NQ] ⇒ AR este bisectoarea ^NAQ ⇒
◦
m (^NAR) = m (^QAR) = 60 . Cum 4ABC este isoscel s , i D este mijlocul lui [BC] ⇒ AD
◦
este bisectoarea ^BAC ⇒ m (^DAC) = 30 ⇒ m (^DAR) = m (^DAC) + m (^CAQ) +
◦
m (^QAR) = 180 ⇒ D, A, R coliniare. Dar AR⊥NQ ⇒ AD⊥NQ.
Cazul al II-lea (Figura 14). 4ABC echilateral, AD median˘a ⇒ AD este bisectoarea ^BAC
◦
◦
◦
◦
⇒ m(^DAB) ≡ m(^DAC) = 30 . Cum m (^QAB) = 90 − 60 = 30 , m (^NAC) =
◦
◦
◦
◦
90 − 60 = 30 ⇒ m (^QAD) = m (^NAD) = 60 . Dar AQ = AC = AB = AN ⇒ 4AQN
isoscel ⇒ AD⊥NQ.
10. Folosim reciproca teoremei lui Pitagora.
Aplicat , ia 10. Se d˘a prisma triunghiular˘a
regulat˘a ROESTI. Cumoas , tem c˘a RO =
√ √
2a 3 cm, IE = a 2cm s , i U, N, V, C mijloa-
3
cele laturilor [RO] , [IE] , [ST], respectiv [IV ].
Ar˘atat , i c˘a NU⊥NC.
(,,Pretutindeni matematic˘a” Roes , ti 2019-
Mihaela Molodet , - enunt , modificat)

Figura 15

Demonstrat¸ie. V U = SR = IE, V U k SR k IE ⇒ UEIV paralelogram. Din IE⊥ (ERO),
2
2
EU ⊂ (ERO) ⇒ IE⊥EU ⇒ UEIV dreptunghi. EU = V I = a, CU = 9a 2 , NC = 3a 2 ,
4 4
2
2
2
2
UN = 6a 2 ⇒ CU = NC + UN ⇒ 4NUC dreptunghic ˆın N ⇒ NU⊥NC.
4
11. Folosim rezultatul B ∈ CD, d (A, CD) = AB ⇒ AB⊥CD.
Justificare: Fie AE⊥CD, E ∈ CD. Dac˘a
am presupune, prin absurd c˘a B 6= E (Fi-
gura 16), am avea c˘a d (A, CD) = AE ⇒
AE = AB ⇒ ˆın 4AEB dreptunghic ˆın E
ipotenuza are aceeas , i lungime cu o catet˘a,
contradict , ie. Deci presupunerea este fals˘a
⇒ B = E ⇒ AB⊥CD.
Figura 16