Page 23 - MATINF Nr. 3

Cum ar˘at˘am c˘a dou˘a drepte sunt perpendiculare 23

ˆ
Aplicat , ia 11. In piramida patrulater˘a regu-
lat˘a V ABCD cunoas , tem AB = 12cm, V O =
8cm (unde O este centrul bazei), M, N mijloa-
cele laturilor AD respectiv BCs , i P ∈ V M as , a
ˆıncˆat PN = 9,6cm. Ar˘atat , i c˘a NP⊥V M.

(Mihaela Molodet , )

Figura 17

2
Demonstrat¸ie. MN = AB = 12cm ⇒ A 4V MN = 48cm . Aplicˆand Teorema lui Pitagora
2
ˆın 4V MO, avem c˘a V M = 10cm ⇒ V M·PN = 48cm = A 4V MN ⇒ d (N, V M) = NP ⇒
2
NP⊥V M.
12. Folosim Teorema celor trei perpendiculare.

ˆ
Aplicat , ia 12. In piramida patrulater˘a regulat˘a V ABCD cunoas , tem AB = 12cm, V O = 8cm
(unde O este centrul bazei), M, N mijloacele laturilor AD respectiv BC s , i P ∈ V M as , a ˆıncˆat
PN = 9,6cm. Ar˘atat , i c˘a BP⊥V M.

(Mihaela Molodet , )

Demonstrat¸ie. Folosind rezultatul anterior, avem c˘a NP⊥V M. Dar BN⊥MN, BN⊥V N ⇒
BN⊥ (V MN) ⇒ BP⊥V M (conform Teoremei celor trei perpendiculare).

13. Folosim rezultatul ,,Dac˘a una din drepte este perpendicular˘a pe un plan ˆın
care este inclus˘a a doua dreapt˘a, atunci dreptele sunt perpendiculare”.
Justificare: Din definit , ia dreptei perpen-
diculare pe plan, aceasta este perpendicular˘a
pe orice dreapt˘a inclus˘a ˆın plan.
0
ˆ
0
0
Aplicat , ia 13. In cubul ABCDA B C D 0
not˘am cu M, N, R mijloacele segmentelor
0 0
A B , A D respectiv [MN]. Ar˘atat , i c˘a
0
A C⊥AR.
(Concurs ,,Filofteia Preda”- Dr˘ag˘as , ani,
2017, Mihaela Molodet , - enunt , modificat)

Figura 18

0 0 0
Demonstrat¸ie. BC⊥ ABB , AM ⊂ ABB ⇒ BC⊥AM ⇒ AM⊥BC. Dar AM⊥BA
0 0 0 0 0
⇒ AM⊥ A BC . Cum A C ⊂ A BC ⇒ AM⊥A C. Analog rezult˘a AN⊥A C, deci
0 0
A C⊥ (AMN). Cum AR ⊂ (AMN) ⇒ A C⊥AR.