Page 19 - MATINF Nr. 3

Cum ar˘at˘am c˘a dou˘a drepte sunt perpendiculare 19

3. Folosim rezultatul ,,Dac˘a dreptele sunt dreptele suport ale diagonalelor unui
romb, atunci sunt perpendiculare”.

Justificare: Rombul este un paralelogram,
ˆ
deci diagonalele sale se ˆınjum˘at˘at , esc. In Fi-
gura 3, AO = CO ⇒ BO este median˘a ˆın
4ABC care este isoscel ⇒ BO este ˆın˘alt , ime
ˆın 4ABC ⇒ BO⊥AC, adic˘a BD⊥AC.

Figura 3
ˆ
Aplicat , ia 3. In Figura 4 este schit , a unei ta-
ble de joc ABCD, ˆımp˘art , it˘a ˆın 25 de p˘atrate
colorate ˆın alb s , i negru, fiecare p˘atrat avˆand
lungimea de 2 cm. Pe marginea tablei de joc
sunt alese, ca ˆın figur˘a, punctele P, Q, M, N
astfel ˆıncˆat AP = BQ = CM = DN. Ar˘atat , i
c˘a dreptele MP s , i NQ sunt perpendiculare.

(Simulare Evaluare Nat , ional˘a- 2014) Figura 4

Demonstrat¸ie. ABCD p˘atrat ⇒ AB = BC = CD = DA. Cum AP = BQ = CM = DN
⇒ PB = QC = MD = NA ⇒ 4APN ≡ 4BQP ≡ 4CMQ ≡ 4DNM(cazul C.C.)
⇒ NP = PQ = QM = MN ⇒ MNPQ romb ⇒ MP⊥NQ.

4. Folosim rezultatul ,,Dac˘a aria triunghiului este egal˘a cu semiprodusul dintre
dou˘a laturi, atunci triunghiul este dreptunghic”.
ˆ
Justificare: In Figura 5 avem c˘a A 4ABC =
AB·BC . Presupunem c˘a AD⊥BC ⇒
2
= AD·BC ⇒ AB = AD (alt-
A 4ABC
2
fel, ˆın 4ABD dreptunghic ˆın D am avea
c˘a ipotenuza este congruent˘a cu o ca-
tet˘a, ceea ce este fals). As , adar AB⊥BC.

Figura 5

ˆ
Aplicat , ia 4. In prisma patrulater˘a regu-
√
lat˘a ABCDEFGH avem c˘a AB = 50 2cm,
AE = 48cm. Se alege punctul P pe [EG] as , a
ˆıncˆat 9EP = 16GP. Ar˘atat , i c˘a PA⊥PC.

(Mihaela Molodet , )

Figura 6