Page 20 - MATINF Nr. 3

20 M. Molodet ,

Demonstrat¸ie. AC = EG = 100cm (TP ˆın 4ABC) EP = 16 ⇒ EP = 16 ⇒ EP = 64cm,
EG
GP
9
25
◦
PG = 36cm. m (^AEP) = m (^CGP) = 90 . Din Teorema lui Pitagora ˆın 4AEP, respectiv
2
4CGP, AP = 80cm, PC = 60cm. ACGE dreptunghi ⇒ A 4PAC = AC·AE = 2400cm . Dar
2
AP·PC = 2400cm ⇒ A 4PAC = AP·PC ⇒ PA⊥PC. 2
2 2
5. Folosim rezultatul ,,Dac˘a lungimea medianei este jum˘atate din latura care o
determin˘a, triunghiul este dreptunghic”.
ˆ
Justificare: In Figura 7 AO = BO = CO,
O ∈ BC ⇒ BC diametrul cercului circum-
scris triunghiului ABC ⇒ m (^BAC) =
_
1 · m BC = 180 ◦ = 90 .
◦
2 2

Figura 7
ˆ
Aplicat , ia 5. In piramida patrulater˘a regu-
lat˘a V ABCD, avem V A = AB. Ar˘atat , i c˘a
AV ⊥CV .

(Mihaela Molodet , )

√
Demonstrat¸ie. AO = CO = l 2 , V A = l,
√ 2
V O⊥AO ⇒V O = l 2 (Teorema lui Pita-
2
gora ˆın 4V AO) ⇒ AO = CO = V O ⇒
AV ⊥CV. Figura 8

6. Folosim egalitatea 3AG = BC, unde G este centrul de greutate al 4ABC.
Justificare: Dac˘a AM median˘a ⇒ AG =
2
2 AM ⇒ BC = 3AG = 3 · AM = 2AM,
3 3
ceea ce ne aduce ˆın situat , ia de la punctul 5.
Aplicat , ia 6. ABCD dreptunghi, O centrul
s˘au, iar E este simetricul lui D fat , ˘a de C.
T
Not˘am OE BC = {F}. Dac˘a AB = 3cm,
CF = 1cm, ar˘atat , i c˘a BD⊥BE.
Figura 9
(Mihaela Molodet , )

Demonstrat¸ie. F este centrul de greutate al triunghiului 4BDE ⇒ BF = 2CF = 2cm
⇒ 3BF = DE = 6cm ⇒ BD⊥BE.

7. Folosim rezultatul ,,Dac˘a dou˘a drepte sunt respectiv paralele cu alte dou˘a
drepte perpendiculare, atunci s , i ele sunt perpendiculare”.

Justificare: Unghiul format de prima pereche de drepte este acelas , i cu cel format de a
doua pereche de drepte. Deci dac˘a dreptele din a doua pereche sunt perpendiculare, vor fi
perpendiculare s , i dreptele din prima pereche.