Page 21 - MATINF Nr. 3

Cum ar˘at˘am c˘a dou˘a drepte sunt perpendiculare 21

T
Aplicat , ia 7. ABCD este romb, iar {O} = AC BD. Se construies , te E simetricul lui O fat , ˘a
de G, mijlocul laturii [CD]. Not˘am cu F intersect , ia dreptelor AD s , i CE. Ar˘atat , i c˘a DE⊥FE.

(Mihaela Molodet , )
Demonstrat¸ie. CG = DG, OG = EG
⇒ CODE paralelogram ⇒ CE k OD s , i
ED k CO ⇒ CE k BD s , i DE k AC. Cum
AC⊥BD (diagonalele rombului sunt perpen-
diculare) ⇒ DE⊥CE ⇒ DE⊥FE.

Figura 10

8. Folosim rezultatul a⊥b, c k a ⇒ b⊥c.
Justificare: F˘ar˘a a restrˆange generalitatea,
putem presupune c˘a dreptele sunt coplanare
(altfel, translat˘am proprietatea, prin parale-
lism, la drepte coplanare). a k c, b secant˘a
⇒ se formeaz˘a unghiuri alterne interne (de
exemplu) congruente, ca ˆın Figura 11 ⇒ b⊥c. Figura 11

ˆ
Aplicat , ia 8. In Figura 12 este reprezentat
un trapez dreptunghic ABCD, cu AB k CD,
◦
m (^BAD) = 90 , AB = 12cm, CD = 4cm
s , i AD = 8cm. Punctul E apart , ine laturii AB
astfel ˆıncˆat AE = 4cm s , i punctul F apart , ine
laturii AD, astfel ˆıncˆat AF = 6cm. Ar˘atat , i
c˘a dreptele CE s , i FO sunt perpendiculare,
T
unde {O} = AC BD.
Figura 12
(Simulare Evaluare Nat , ional˘a - 2019)

Demonstrat¸ie. AB k CD⇒4AOB ∼ 4COD, deci AO = AB = 3. AF = 3, deci AF = AO , de
CO CD DF DF CO
unde obt , inem FO k CD. AECD dreptunghi ⇒ CE⊥CD ⇒ CE⊥FO.

9. Folosim rezultatul ,,Dac˘a una din drepte este bisectoare, median˘a sau medi-
atoare ˆıntr-un triunghi isoscel, iar cealalt˘a dreapt˘a este baz˘a, atunci dreptele sunt
perpendiculare”.

Justificare: ˆ
In orice triunghi isos-
cel, bisectoarea, mediana s , i mediatoa-
rea corspunz˘atoare bazei coincid cu
ˆın˘alt , imea (proprietate a triunghiului isoscel).

Figura 13