Page 81 - MATINF Nr.2

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 81

b) Stabilit , i o relat , ie de recurent , ˘a ˆıntre termenii s , irului (I n ) .
n≥1
5. Fie F mult , imea funct , iilor derivabile f : [0, 1] → R, astfel ˆıncˆat

Z 1
f(x)dx = f(0) = f(1).
0
a) S˘a se determine funct , iile polinomiale de gradul trei apart , inˆand lui F.
0
b) S˘a se arate c˘a pentru orice funct , ie f ∈ F, ecuat , ia f (x) = 0, are cel put , in dou˘a solut , ii
reale ˆın intervalul (0, 1).

Geometrie s , i Trigonometrie

1. Consider˘am trapezul ABCD cu laturile paralele (AB), (CD) iar (AD), (BC) sunt laturi

neparalele. Fie E intersect , ia dreptei AD cu cercul circumscris triunghiului BCD s , i F
intersect , ia dreptei AD cu paralela din C la BE. Presupunˆand c˘a A ∈ (EF), s˘a se arate
c˘a:

a) patrulaterul ABCF este inscriptibil;
b) BC este medie geometric˘a ˆıntre AD s , i EF.
2. S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat ecuat , ia

Å π ã Å π ã
4
sin x + sin 4 x + + sin 4 x − = m
4 4
s˘a admit˘a solut , ia
(2k + 1)π
x = , k ∈ Z.
4
3. Dac˘a H este ortocentrul triunghiului ascut , itunghic ABC, BC = a, CA = b, AB = c, iar
S este aria triunghiului ABC, s˘a se arate c˘a:

a) AH = 2R cos A;
b) a · AH + b · BH + c · CH = 4S.
4. S˘a se demonstreze c˘a dac˘a ˆıntr-un tetraedru ABCD, AB⊥BD s , i AC⊥CD, atunci piciorul

ˆın˘alt , imii tetraedrului dus˘a din vˆarful A se afl˘a pe cercul circumscris triunghiului BCD.
ˆ
5. Intr-un reper cartezian se consider˘a triunghiul cu vˆarfurile A(4, 1), B(2, 3), C(3, −1).
Determinat , i:

a) ecuat , ia medianei din C;
b) ecuat , ia ˆın˘alt , imii din C;
c) coordonatele centrului de greutate;
d) aria triunghiului ABC.
e) distant , a de la punctul C la latura AB.

(Admiterea la Universitatea din Pites , ti, specializ˘arile Matematic˘a s , i Matematic˘a-Informatic˘a, 1994)