Page 80 - MATINF Nr.2

˘
80 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

2. a) Definit , ia progresiei aritmetice.

b) Demonstrat , i c˘a orice termen al unei progresii aritmetice ˆıncepˆand cu al doilea este
media aritmetic˘a a termenilor vecini lui.
c) Enunt , at , i s , i demonstrat , i formula termenului general al unei progresii aritmetice ˆın
funct , ie de primul termen al progresiei s , i de rat , ia ei.
d) Enunt , at , i s , i demonstrat , i formula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.
3. Se consider˘a sistemul

 x + y = 1


2x + z = n


mx + y + z = 4

cu m s , i n parametri reali. S˘a se studieze compatibilitatea sistemului ˆın funct , ie de m s , i n.
ˆ
In caz de compatibilitate, s˘a se rezolve.
4. Fie mult , imea M = [−1, +∞) s , i fie ∗ : M × M → M operat , ia dat˘a de:

x ∗ y = xy + x + y.

Formeaz˘a cuplul (M, ∗) o structur˘a algebric˘a de grup? (Demonstrat , ie).
5. Polinomul f cu coeficient , i numere ˆıntregi are o r˘ad˘acin˘a ˆıntreag˘a. S˘a se arate c˘a pentru

orice num˘ar natural n produsul
f(0)f(1)...f(n)

este divizibil cu (n + 1)!.

Analiz˘a Matematic˘a

1. S˘a se studieze convergent , a s , irului (x n ) n≥1 definit prin x 1 = a, a ≥ 0 dat s , i

2
x n+1 = x − 2x n + 2, ∀ n ≥ 1, n ∈ N.
n
ˆ
In caz c˘a (x n ) n≥1 este convergent, s˘a se determine

lim x n .
n→∞

2. S˘a se determine valorile lui m pentru care ecuat , ia

3
2
x − 2x + x + m = 0, m ∈ R,
are toate r˘ad˘acinile reale.
3. S˘a se arate c˘a inegalitatea
2x
ln(x + 1) ≥
x + 2
are loc pentru orice x ≥ 0.
4. Fie
dx
Z
∗
I n = , n ∈ N .
2
(x + 4) n
a) Calculat , i I 1 s , i I 2 .