Page 78 - MATINF Nr.2

˘
78 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Teste pentru admiterea la facultate

Testul 1

Eduard Asadurian 1

SUBIECTUL I

 x + 2y − z = 4


Fie sistemul 3x − 2y + (n − 2)z = −4 , unde m s , i n sunt parametri reali.


(m + 1)x + 4y − 2z = 8

a) Ar˘atat , i c˘a pentru orice valoare a lui m ∈ R sistemul este compatibil.
b) Ar˘atat , i c˘a pentru n = 3 solut , iile sistemului sunt independente de m.
c) Pentru m = 1 determinat , i mult , imea solut , iilor.

SUBIECTUL al II-lea
(2x − 1)[x]
Fie funct , ia f : R → R, f(x) = , unde [x] s , i {x} reprezint˘a partea ˆıntreag˘a,
x − {x} + 1
2
respectiv partea fract , ionar˘a a num˘arului x.

a) Ar˘atat , i c˘a f(x) ≥ 0 pentru tot , i x ∈ R.
b) Cercetat , i dac˘a funct , ia f are asimptote.
n+1
Z
a n
c) Pentru n ≥ 1 definim a n = f(x)dx. Calculat , i lim , unde α este un parametru real.
n→∞ n α
n
SUBIECTUL al III-lea

Triunghiul ortic are vˆarfuri picioarele ˆın˘alt , imilor unui triunghi. Fie dat un triunghi ABC,
H ortocentrul s , i R raza cercului circumscris.

a) Ar˘atat , i c˘a ˆın˘alt , imile triunghiului ABC sunt bisectoarele triunghiului s˘au ortic.

b) Dac˘a A 1 , B 1 , C 1 sunt picioarele ˆın˘alt , imilor triunghiului ABC, cu notat , iile a = BC,
0
0
0
b = AC, c = AB, a = B 1 C 1 , b = A 1 C 1 s , i c = A 1 B 1 , sunt adev˘arate relat , iile
0
AH = 2R| cos A|, a = R| sin 2A|,

respectiv

AH BH CH a 0 b 0 c 0
= = = 2R si = = = R
| cos A| | cos B| | cos C| | sin 2A| | sin 2B| | sin 2C|

dac˘a triunghiul nu este dreptunghic.
2
2
2
c) Demonstrat , i c˘a AH = 4R − a s , i analoagele.
1
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, ediasadurian@yahoo.com