Page 75 - MATINF Nr.2

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 75

TESTUL 4

Mihai Florea Dumitrescu 4

SUBIECTUL I (30p)
√ √
» »
1. S˘a se arate c˘a num˘arul a = 3 10 + 6 3 + 3 10 − 6 3 este ˆıntreg. (5p)
2
2. Aflat , i m ∈ R pentru care dreapta y = x − 1 s , i parabola y = x − mx + m nu au puncte
comune. (5p)
√ √ √
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x + 4 x + 8 x = 3. (5p)

4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand la ˆıntˆamplare un num˘ar din mult , imea numerelor
naturale de dou˘a cifre, acesta s˘a aib˘a 5 divizori naturali. (5p)

◦
5. Se consider˘a paralelogramul ABCD cu AB = 3, AD = 4 s , i m(^A) = 60 . Pe latura BC
se iau punctele M, N s , i P astfel ˆıncˆat BM = MN = NP = PC. Aflat , i lungimea vectorului
−→ −−→ −−→ −→ −→
AB + AM + AN + AP + AC. (5p)
1 Å π ã
6. Rezolvat , i ˆın mult , imea [0, 2π) ecuat , ia sin x cos x = sin x − . (5p)
2 3
SUBIECTUL al II-lea (30p)

Ü ê
0 x x
1. Se consider˘a matricea A(x) = x 0 x , x ∈ R.
x x 0
√
3
a) Calculat , i detA( 2). (5p)
√
î ó
3
b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia det A( t) + I 3 = 0. (5p)
n
∗
c) Ar˘atat , i c˘a [A(1)] n+2 = [A(1)] n+1 + 2 [A(1)] , ∀ n ∈ N . (5p)
3
2
2. Se consider˘a polinomul f = X + aX − aX + 2, unde a este un num˘ar real nenul.
2
a) Calculat , i cˆatul s , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f la polinomul g = X + X + 1. (5p)
b) Pentru a = 1, calculat , i suma |x 1 | + |x 2 | + |x 3 |, unde x 1 , x 2 , x 3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile
polinomului f. (5p)

c) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor complexe sistemul

1 1 1 1


 + + =


 x y z 2


 1 1 1 3
+ + = − .
 x 2 y 2 z 2 4

 yz xz xy 17


+ + =


x y z 4
 2 2 2
(5p)
4
Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com