Page 73 - MATINF Nr.2

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 73

a) Calculat , i det(A(2019)). (5p)

b) Determinat , i valorile reale ale lui a pentru care sistemul este compatibil determinat. (5p)

c) Pentru a = 1, g˘asit , i solut , iile (x 0 , y 0 , z 0 ) ale sistemului pentru care are loc egalitatea
x 0 − 1
2
= (3y 0 + z 0 ) . (5p)
2019
2. Fie x ◦ y = x ln y + y ln x − 1, x, y ∈ (0, ∞).

a) Ar˘atat , i c˘a x ◦ y = 2x ln y − 1, ∀x, y ∈ (0, ∞). (5p)

b) Rezolvat , i ecuat , ia x ◦ x = 1. (5p)

c) Ar˘atat , i c˘a ,,◦” nu este lege de compozit , ie pe mult , imea (0, ∞). (5p)

SUBIECTUL al III-lea (30p)

x − 1
∗
1. Fie n ∈ N s , i f n : R → R, f n (x) = .
e nx
a) Ar˘atat , i c˘a axa Ox este asimptot˘a orizontal˘a pentru graficul funct , iei f 2019 . (5p)
b) S˘a se studieze monotonia funct , iei f 1 . (5p)

à í
1
f n (x) − 2x
c) Calculat , i lim lim e . (5p)
n→∞ x→2 x − 2

2. Fie a ∈ (0, ∞)\{1} s , i f a : (0, ∞) → R, f a (x) = x log x
a
2 f 2 (x) 1
Z
a) Ar˘atat , i c˘a dx = 2 − . (5p)
1 x ln 2
b) Calculat , i aria suprafet , ei plane delimitate de graficul funct , iei f e , axa Ox s , i dreptele de

ecuat , ii x = 1 ¸si x = e. (5p)

f a (x)
1 Z
c) Calculat , i lim dx. (5p)
a→0 x
a>0 a
TESTUL 3

Maria-Crina Diaconu 3

SUBIECTUL I (30p)

2
3
1. Determinat , i valorile reale ale lui m pentru care num˘arul z = 3i − mi + (2 − m)i + 6
este real. (5p)
2
2. Fie x 1 , x 2 r˘ad˘acinile ecuat , iei x − 5x − 5 = 0. Format , i ecuat , ia de gradul al doilea ˆın y cu
r˘ad˘acinile y 1 = 1 , y 2 = 1 . (5p)
x 1 x 2
3
Asist. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, crynutza 25@yahoo.com