Page 74 - MATINF Nr.2

˘
74 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

√
x
x
x
3. S˘a se rezolve ˆın R ecuat , ia 9 − 2 · 3 + 1 = 3 − 1. (5p)
4. Aflat , i probabilitatea ca aruncˆand dou˘a zaruri produsul numerelor de puncte obt , inute s˘a
fie multiplu de 4. (5p)

5. Calculat , i distant , a de la A(3, −1) la dreapta de ecuat¸ie y = 8. (5p)

3 7
Ä ä Ä ä
6. S , tiind c˘a α ∈ 3π , 2π , β ∈ π, 3π , sin α = − , sin β = − , calculat , i cos(α + β). (5p)
2 2 5 25
SUBIECTUL al II-lea (30p)

 x + y + az = −1


1. Se consider˘a sistemul (S): ax + y + z = 1 , a ∈ R.


x + ay + z = 0

a) S˘a se calculeze determinantul matricei sistemului. (5p)
b) S˘a se determine num˘arul real a pentru care sistemul nu este compatibil determinat. (5p)

c) S˘a se afle a ∈ R, pentru care solut , ia unic˘a a sistemului este o progresie aritmetic˘a de rat , ie
r = 3. (5p)

2. Pe mult , imea R a numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie dat˘a de x ∗ y =
xy + ax + by + 2, ∀ x, y ∈ R.

a) S˘a se determine parametrii reali a s , i b astfel ˆıncˆat legea de compozit , ie s˘a fie comutativ˘a s , i
asociativ˘a. (5p)

b) Pentru a = b = −1 s˘a se determine elementul neutru s , i elementele simetrizabile din R ˆın
raport cu legea ”∗”. (5p)

c) Pentru a = b = 2 s˘a se rezolve ecuat , ia x ∗ x ∗ . . . ∗ x = 3 2019 − 2. (5p)
| {z }
de 2019 ori x
SUBIECTUL al III-lea (30p)
2 − mx
1. Se consider˘a funct , ia f : D → R, f(x) = , D fiind domeniul maximal de
2
x − nx + 4
definit , ie al lui f.
0
a) S˘a se calculeze f (x), x ∈ D. (5p)

b) S˘a se determine valorile parametrilor reali m s , i n astfel ˆıncˆat x = −1 s , i x = 1 s˘a fie
puncte de extrem relativ s , i s˘a se precizeze natura acestor puncte. (5p)

c) S˘a se determine valorile parametrilor reali m s , i n astfel ˆıncˆat dreapta de ecuat , ie y = 2 s˘a
fie asimptota orizontal˘a spre +∞ la graficul funct , iei g : D → R, g(x) = xf(x). (5p)
1 1 1 x
Z Z n
∗
2. Se consider˘a s , irul (I n ) n∈N , definit prin I 0 = dx, I n = dx, unde n ∈ N .
0 1 + ex 0 1 + ex
a) S˘a se calculeze I 0 . (5p)
∗
b) S˘a se verifice c˘a eI n+1 + I n = 1 , ∀ n ∈ N . (5p)
n+1
c) S˘a se calculeze lim nI n . (5p)
n→∞