Page 72 - MATINF Nr.2

˘
72 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

f(x) − f(0)
a) S˘a se calculeze lim . (5p)
x→0 x
b) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct , iei f. (5p)

c) Determinat , i num˘arul solut , iilor ecuat , iei f(x) = a, unde a > 0. (5p)
1 x
Z n
2. Se defines , te s , irul (I n ) n≥1 astfel I n = dx.
2
0 x + x + 2
a) S˘a se calculeze I 1 . (5p)
1
b) S˘a se demonstreze relat , ia I n+2 + I n+1 + 2I n = , n ≥ 1. (5p)
n + 1
c) S˘a se calculeze lim nI n . (5p)
n→∞

TESTUL 2

Mihai Burdus , a 2

SUBIECTUL I (30p)

1. Ar˘atat , i c˘a num˘arul
Ñ é Ñ é Ñ é
1 1 1
x = log 2019 1 − + log 2019 1 − + ... + log 2019 1 −
2 3 2019

este ˆıntreg. (5p)

2. Determinat , i coordonatele punctelor de intersect , ie ale graficelor funct , iilor f, g : R → R,
2
f(x) = −2x + 3, g(x) = x − 3x + 3. (5p)
√
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x − 1 + 1 = x. (5p)
√
4. Fie s , irul (a n ) n≥1 , a n = 4n + 1. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand un termen dintre
primii 100 de termeni ai s , irului, acesta s˘a fie num˘ar rat , ional. (5p)

ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(−2, 1) s , i B(3, 4). Determinat , i ecuat , ia
dreptei care include ˆın˘alt , imea din A a triunghiului OAB. (5p)

 
π √
6. Aflat , i valorile x ∈ 0,  pentru care sin x + 2 cos x = sin x + cos x. (5p)

2
SUBIECTUL al II-lea (30p)

Ü ê
1 1 1
1. Fie matricea A(a) = a 1 a + 1 s , i sistemul de ecuat , ii

1 a a

x + y + z = 3




ax + y + (a + 1)z = 6a , a ∈ R.




x + ay + az = a + 2

2
Profesor, S , coala Gimnazial˘a ,,Mihai Eminescu” Pites , ti, S , coala Gimnazial˘a nr. 1 Costes , ti, mihai@burdusa.ro