Page 68 - MATINF Nr.2

˘
68 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

SUBIECTUL al III-lea

( 2
x + ln (x + 1) , dac˘a x ≤ 0
1. Se considerˇa funct , ia f : R → R, f (x) = 1 .
(1 + sin x) + a, dac˘a x > 0
x
a) Aflat , i numˇarul real a, astfel ˆıncˆat funct , ia f sˇa fie continuˇa ˆın punctul x 0 = 0.
b) Arˇatat , i cˇa funct , ia f nu admite asimptotˇa spre −∞.
e
5
3
c) Arˇatat , i cˇa 10e < e + e .
® x
xe − e, dac˘a x ≤ 1
2. Se considerˇa funct , ia f : R → R, f (x) = .
x ln x, dac˘a x > 1
a) Arˇatat , i cˇa funct , ia f admite primitive pe R.
Z 2
b) Calculat , i f (x) dx.
0
Z 1
2 1 2
c) Arˇatat , i cˇa dx ≤ − .
0 f (x) 1 + 4e
Testul 4

Maria-Crina Diaconu 4

SUBIECTUL I
8
80
2
4
6
1. S˘a se calculeze i + i + i + i + ... + i .
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f (x) = x − 5x + 6. S˘a se determine ecuat , ia axei de
simetrie a graficului funct , iei date.
(n − 7)!
3. S˘a se rezolve ecuat , ia = 72, n ∈ N, n ≥ 9.
(n − 9)!
4. Determinat , i cˆate numere naturale de 4 cifre distincte se pot forma cu elementele mult , imii
{0, 1, 2, 3}.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele P (1, 3) s , i Q (2, 6). Determinat , i coordonatele
punctului R s , tiind c˘a P este simetricul lui R fat , ˘a de Q.
1 1
6. Verificat , i egalitatea + = 16.
2
2
cos 15 ◦ sin 15 ◦
SUBIECTUL al II-lea
√ !
5 + a −1
1. Consider˘am matricea A (a) = √ , a ∈ R.
5 − 5 − a
2
a) Calculat , i A (−1).
b) Determinat , i valoarea parametrului real a pentru care matricea I 2 +5A (a) este inversa
matricei I 2 − 5A (a) .
c) Pentru a = 0, aflat , i x ∈ R astfel ˆıncˆat det (A (a) − xI 2 ) = 9.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie

x ∗ y = 4 (x + y − 3) − xy.

a) Ar˘atat , i c˘a x ∗ y = 4 − (x − 4) (y − 4) , pentru orice numere reale x s , i y.
b) Studiat , i existent , a elementului neutru fat , ˘a de legea ,,∗”.
1 1
Ç å x Ç å x
c) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia ∗ = 4.
2 4
4
Asist. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, crynutza 25@yahoo.com