Page 67 - MATINF Nr.2

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 67

c) Determinat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 0 situat
pe graficul funct , iei.
2
x
2. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = xe .
√
1 R f( x)
a) Calculat , i √ dx.
0 x
b) Ar˘atat , i c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este convex˘a pe R.
c) Calculat , i aria suprafet , ei delimitate de graficul funct , iei f, axa Ox s , i dreptele de ecuat , ii
x = 0 s , i x = 1.

Testul 3
Mihai Florea Dumitrescu 3

SUBIECTUL I
√
»
√ ä Ä √ ä
q Ä
1. Sˇa se arate cˇa numˇarul a = 3 3 − 2 2 1 − 2 + 3 + 2 2 este ˆıntreg.
2
?
2. Se considerˇa funct , ia f : R → R, f(x) = mx − 3x + 2m, m ∈ R . Aflat , i numˇarul real m,
Ç ô
1
astfel ˆıncˆat mult , imea valorilor funct , iei f sˇa fie intervalul −∞, − .
√ √ 4
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x + 3 x = 2.
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand aleator un numˇar din mult , imea A = {10, 11, . . . , 100},
acesta sˇa aibˇa exact 9 divizori naturali.
5. Se considerˇa dreptunghiul ABCD cu AB = 8 s , i AD = 3. Pe latura DC se iau punctele
−−→ −→ −→ −→
E s , i F astfel ˆıncˆat DE = EF = FC. Aflat , i lungimea vectorului AD + AE + AF + AC.
2
2
6. Rezolvat , i ˆın mult , imea [0, 2π) ecuat , ia sin x + sin x cos x + 2 cos x = 1.
SUBIECTUL al II-lea

Ö è
0 x 0
1. Se considerˇa matricea A (x) = 0 0 x , x ∈ R.
x 0 0

t
t
a) Arˇatat , i cˇa det [A (x) + A (x)] = det A (x) + det A (x) pentru orice x ∈ R , unde B t
este transpusa matricei B.
Ö è
1 0 0
b) Rezolvat , i ˆın Z × Z × Z ecuat , ia A (x) · A (y) · A (z) = I 3 , unde I 3 = 0 1 0 .
0 0 1
c) Rezolvat , i ˆın M 3 (R) ecuat , ia A (1) · A (2) · ... · A (2019) · X · A (1) = 2019! · A (−1).
3 2
2. Se considerˇa polinomul f = X + aX − 2a, unde a este un numˇar real nenul s , i x 1 , x 2 , x 3
rˇadˇacinile polinomului f.
a) Calculat , i numˇarul real a, s , tiind cˇa restul ˆımpˇart , irii polinomului f la polinomul
g = X − 1 este egal cu 5.
b) Determinat , i numerele reale a, pentru care are loc egalitatea
Ä 2 ä Ä 2 ä Ä 2 ä
2 − 3x 1 + x 1 2 − 3x 2 + x 2 2 − 3x 3 + x 3 = 12.
Ç å 2
x 1 x 2 x 3 1
c) Aflat , i numˇarul real a, astfel ˆıncˆat are loc egalitatea + + + +
2 2
x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 2 x x
1 2
1 1 x 1 + x 2 + x 3
+ = .
2 2
2 2
x x x x 2
1 3
2 3
3
Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com