Page 66 - MATINF Nr.2

˘
66 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

1
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = .
2
x + 4
a) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘a F a lui f este convex˘a pe (−∞, 0].
2
Z
2
b) S˘a se calculeze (x + x + 1)f(x)dx.
0
c) S˘a se determine volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului
funct , iei g : [0, 2] → R, g(x) = f(x).

Testul 2

Raluca Mihaela Georgescu 2

SUBIECTUL I

2
2
1. Determinat , i partea real˘a a num˘arului complex z = (1 + 2i) − (1 − 2i) .
2. Determinat , i valorile parametrului real m astfel ˆıncˆat punctul A(2, 3) s˘a apart , in˘a graficului
2
funct , iei f : R → R, f(x) = m x − 5.
x
3
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 5 + 5 x+1 + 5 x+2 − 5 = 650.
4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult , imea numerelor naturale impare de
trei cifre, acesta s˘a fie cub perfect.

ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(3, 2), B(−1, 3) s , i C(a, 1). Determinat , i
num˘arul real a astfel ˆıncˆat punctele A, B, C s˘a fie coliniare.

◦
6. Fie triunghiul ABC cu AB = 5, AC = 6 s , i m(^A) = 60 . Determinat , i aria triunghiului
ABC.

SUBIECTUL al II-lea
Ç å
x + 2 1
1. Se consider˘a matricea A(x) = .
−4 x − 2
a) Calculat , i det(A(2)).
2 2
b) Ar˘atat , i c˘a (A(x)) = 2xA(x) − x · I 2 .
c) Determinat , i valorile reale ale lui x astfel ˆıncˆat det(A(x)) = 9.

2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie x ∗ y = xy + 3x + 3y + 6.
a) Ar˘atat , i c˘a x ∗ y = (x + 3)(y + 3) − 3, pentru orice numere reale x, y.
b) Rezolvat , i ecuat , ia x ∗ x ∗ x = x.
c) Calculat , i valoarea expresiei (−2019) ∗ (−2018) ∗ · · · ∗ 2018 ∗ 2019.
SUBIECTUL al III-lea
2
x + 2x − 3
1. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = .
2
x + 1
0
a) Calculat , i f (1).
b) Determinat , i asimptotele funct , iei.
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, gemiral@yahoo.com