Page 64 - MATINF Nr.2

˘
64 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

SUBIECTUL al II-lea

1. Desenat , i o piramid˘a patrulater˘a regulat˘a SANIE, de vˆarf S s , i baz˘a ANIE.
√ √
» »
2
2. Ar˘atat , i c˘a num˘arul n = ( 10 − 99 + 10 + 99) este num˘ar natural.
ˆ
3. Intr-o s , coal˘a, ˆın trei clase A, B s , i C sunt 96 de elevi. Dac˘a s-ar muta din clasa A trei
elevi ˆın clasa B s , i doi elevi ˆın clasa C, atunci cele trei clase ar avea acelas , i num˘ar de elevi.
Cˆat , i elevi sunt ˆın fiecare clas˘a?
4. Fie a, b, c trei numere naturale invers proport , ionale cu 0,(3), 0,1(6) s , i 0,25.

2
2
a) Ar˘atat , i c˘a a + c este un num˘ar p˘atrat perfect.
2
2
2
b) Aflat , i media aritmetic˘a a numerelor, s , tiind c˘a b − (a + c ) = 99.
2
2
2
2
2
5. Se consider˘a expresia E(x) = (x +x+4) −(x +x) −2(2x+1) , unde x ∈ R. Demonstrat , i
c˘a E(x) = 14, oricare ar fi x ∈ R.
SUBIECTUL al III-lea
ˆ
1. In Figura 1 este reprezentat˘a ,,Steaua
lui David” format˘a prin suprapunerea
a dou˘a triunghiuri echilaterale, ABC s , i
DEF, congruente. Aria unui triunghi
√
2
este egal˘a cu 36 3 cm , iar punctele de
intersect , ie ale triunghiurilor ˆımpart latu-
rile acestora ˆın segmente congruente, unde
M, N ∈ (AB), P, Q ∈ (BC) s , i R, S ∈ AC.
a) Ar˘atat , i c˘a MNPQRS este hexagon
regulat.
b) Calculat , i aria port , iunii has , urate.
c) Aflat , i cˆat la sut˘a reprezint˘a aria
port , iunii has , urate din suprafat , a tri-
Figura 1
unghiului ABC.
ˆ
2. In Figura 2 este reprezentat tetraedrul
√
regulat ABCD, cu AB = 5 3 cm. Punc-
tele M s , i N sunt mijloacele muchiilor AB,
respectiv BC.

a) Calculat , i suma ariilor fet , elor tetrae-
drului ABCD.
b) Demonstrat , i c˘a latura MN este pa-
ralel˘a cu planul (ACD).
c) Ar˘atat , i c˘a distant , a de la punctul A
Figura 2
la planul (BCD) este mai mic˘a decˆat
√
3 6 cm.