Page 64 - MATINF Nr. 13-14

˘
64 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Teste pentru admiterea la facultate

Testul 1
Mirela Mortici 1

SUBIECTUL I
n
∗
Se consider˘a polinomul f = X + X n−1 + . . . + X + 1, f ∈ R[X], n ∈ N \ {1}.
2
a) S˘a se determine restul ˆımp˘art , irii polinomului f la polinomul g = X − 3X + 2.
n
X
2
b) Dac˘a x 1 , x 2 , . . . , x n sunt r˘ad˘acinile polinomului f, atunci calculat , i x .
k
k=1
c) Exist˘a valori ale num˘arului natural n pentru care r˘ad˘acinile lui f s˘ fie toate reale?
a
n
X 1
d) Calculat , i .
1 − x k
k=1
SUBIECTUL al II-lea
Fie funct , ia f m : R → R, f m (x) = x + marctg x, m ∈ R.

a
a) S˘a se arate c˘ f 1 este strict cresc˘atoare pe R.
b) S˘a se determine valorile parametrului m ∈ R pentru care funct , ia f m este convex˘a pe
[0, +∞).
c) S˘a se calculeze aria suprafet , ei cuprinse ˆıntre graficul funct , iei f 2 , asimptota oblic˘a spre
√
+∞ s , i dreptele x = 1, x = 3.
1+
Z π
4
a
a
d) S˘ se arate c˘ funct , ia f 1 este bijectiv˘a s , i s˘a se calculeze f 1 −1 (x) dx.
0
SUBIECTUL al III-lea
a
a) S˘ se calculeze lungimea bisectoarei interioare a unghiului drept al unui triunghi dreptun-
ghic ABC ˆın funct , ie de catetele AB = c s , i AC = b.
b) Lungimile bazelor unui trapez sunt egale cu a s , i b, a > b. S˘a se calculeze lungimea
segmentului de dreapt˘ paralel cu bazele, ce ˆımparte trapezul ˆın dou˘ p˘art , i de arii egale.
a
a
π 3π
ï ò
c) Aflat , i solut , iile din intervalul − , ale ecuat , iei:
2 2
sin x + 2 sin 2x + sin 3x √
= 2 cos 2x.
cos x + 2 cos 2x + cos 3x

1
Profesor, Colegiul Nat , ional Pedagogic ,,Constantin Cantacuzino”, Tˆargovis , te, mortici@colegiul-
cantacuzino.ro