Page 60 - MATINF Nr. 13-14

˘
60 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 4

Emilia Jinga 4

SUBIECTUL I
√ √
p p
3
3
1. Ar˘atat , i c˘a 7 − 5 2 + 7 + 5 2 = 2.
a
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = 5x + 20. Calculat , i f −1 (5).
1
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 4 x−5 = .
(0,5) 4
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar ab din mult , imea numerelor de dou˘a cifre,
a
acesta s˘a aib˘ a < b.
5. Se consider˘a triunghiul cu lungimile laturilor 6, 8, 10. Calculat , i ˆın˘alt , imea triunghiului
corespunz˘atoare laturii celei mai mari.
◦
◦
◦
6. Demonstrat , i c˘a tg 2 · tg 4 · . . . · tg 88 = 1.
SUBIECTUL al II-lea
Ñ x x é
1 2 3
1. Se consider˘ matricea A(x) = 0 1 2 x , x ∈ R.
a
0 0 1
a) Ar˘atat , i c˘a det A(x) 6= 0, pentru orice x ∈ R.
b) Calculat , i inversa matricei A(0).
a
c) Demonstrat , i c˘a, dac˘ A(n) · A(n) = A(p), cu n, p ∈ N, atunci n = 0 s , i p = 1.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie x ◦ y = xy − 2(x + y) + 6.
a) Ar˘atat , i c˘a x ◦ y − (x − 2)(y − 2) = 2, ∀x, y ∈ R.
b) Determinat , i x ∈ R cu proprietatea c˘a x ◦ y = x, ∀y ∈ R.
c) Determinat , i valorile reale ale lui x astfel ˆıncˆat (x + 2) ◦ (x + 3) ◦ (x + 4) = 2.
SUBIECTUL al III-lea
√
2
1. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = x + x + 2.
a
√
2
x + x + 2
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = √ , ∀x ∈ R.
2
x + 2
b) Determinat , i ecuat , ia asimptotei oblice la graficul funct , iei f spre +∞.
c) Demonstrat , i c˘a ecuat , ia f(x) = m are solut , ie real˘a unic˘a, oricare ar fi m ∈ (0, ∞).
x
e − 1
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = .
a
x
e + 1
Z 1 e 2x − 1
a) Ar˘atat , i c˘a dx = e − 2.
x
e + 1
0
b) Demonstrat , i c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este o funct , ie strict cresc˘atoare pe [0, ∞).
c) Determinat , i o primitiv˘ F : R → R a funct , iei f cu proprietatea c˘a F(0) = 2 ln 2.
a

4
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Vlaicu Vod˘a”, Curtea de Arges , , jingaemilia@yahoo.com