Page 63 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 63

Testul 7

Mihai Florea Dumitrescu 7
SUBIECTUL I

a
a
a
1. Se d˘ numarul complex z = 2 − i. Aflat , i num˘arul real a, astfel ˆıncˆat s˘ aib˘ loc egalitatea
z + a · ¯ = 4.
z
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = x + x − a, a ∈ R. Aflat , i a, s , tiind c˘a minimul
functiei f este negativ.
√ √
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x x − x + x = 1.
2 2
2
4. Aflat , i n ∈ N din egalitatea (C ) − 3 · C + 2 = 0.
n
n
ˆ
5. In sistemul cartezian de axe xOy se dau punctele A(−1, 5) s , i B(3, 1). Aflat , i coordonatele
a
punctelor de pe mediatoarea segmentului AB, s , tiind c˘ distant , a de la acestea la mijlocul
√
segmentului AB este egal˘a cu 2.
◦
6. Triunghiul ABC are AB = 8, AC = 6, B = 60 . Aflat , i sin A.
SUBIECTUL al II-lea
Ñ é
a 0 −1
a
1. Se d˘ matricea A(a) = 0 a 1 , a ∈ R.
1 5 a
a) Calculat , i det A(1).
b) Rezolvat , i eucat , ia matriceal˘a A(1) · X = A(0).
c) Demontrat , i c˘a det (A(1) + A(2) + . . . + A(n)) ≥ 0 pentru orice num˘ar natural n ≥ 3.
3
4
2
a
2. Se d˘ polinomul f = X − 5X + 10X + aX + b, a, b ∈ R s , i x 1 , x 2 , x 3 , x 4 r˘ad˘acinile sale.
a) Dac˘a a + b = −6, ar˘atat , i c˘a polinomul se divide cu polinomul X − 1.
a
b) Dac˘ a = −10 s , i b = 4, calculat , i |x 1 | + |x 2 | + |x 3 | + |x 4 |.
c) Aflat , i numerele reale a s , i b, astfel ˆıncˆat are loc egalitatea
1 1 1 1
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2
+ + + = x x x x 4 + x x x 3 x + x x 2 x x + x 1 x x x .
4
3 4
1 2
2 3 4
1 2 3
1
x 1 x 2 x 3 x 4
SUBIECTUL al III-lea
e x
a
1. Se consider˘ funct , ia f : (−2, 2) → R, f(x) = .
x − 4
2
2
(x − 2x − 4) · e x
0
a) Aratat , i c˘a f (x) = 2 , pentru orice x ∈ (−2, 2).
2
(x − 4)
b) Determinat , i asimptotele verticale la graficul funct , iei f.
2e 1
c) Ar˘atat , i c˘a − ≤ f(x) + f(1 − x) ≤ − , pentru orice x ∈ [0, 1].
3 2
1
2. Se consider˘ funct , ia f : (0, +∞) −→ R, f(x) = .
a
2
ln x + 1
e ln x + 1
Z 2
a) Ar˘atat , i c˘a · f(x)dx = 1.
1 x
b) Demonstrat , i c˘a orice primitiv˘a a functiei f este convex˘ pe intervalul (0, 1].
a
c) Aflat , i num˘arul real a > 1, s , tiind c˘a
Z a
ln x 1
· f(x)dx = ln 2.
x 2
1
7
Profesor, Liceul ,,Stefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com
¸