Page 62 - MATINF Nr. 13-14

˘
62 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 6

Marinela Ogiolan 6

SUBIECTUL I
√ √ √
a
1. S˘ se ordoneze cresc˘ator numerele 2, 3 4 s , i 4 5.
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = 3x − 5x + 1. S˘a se determine valoarea minim˘a a
funct , iei.
3. Rezolvat , i ˆın R ecuat , ia log (2 x+1 − 1) = 0.
4
4. S˘a se determine num˘arul elementelor unei mult , imi s , tiind c˘a aceasta are exact 28 de
a
submult , imi cu dou˘ elemente.
~
~
~
~
5. S˘a se determine m ∈ R pentru care vectorii ~v 1 = (m − 2)i + 3j s , i ~v 2 = 8i − (20 − 2m)j
sunt coliniari.
π
6. S˘a se calculeze raza cercului circumscris triunghiului 4ABC, s , tiind c˘a m(A) = ,
b
4
π
m(B) = s , i AB = 6.
“
6
SUBIECTUL al II-lea
1. Se consider˘ matricele
a

Ñ é x + 2y + 3z + 4t = 3
1 2 3 4

A = 0 1 2 3 , B = (0 0 0 1) s , i sistemul y + 2z + 3t = 2 .
0 0 1 2  z + 2t = 1

a) S˘a se determine rangul matricei A.
b) S˘ se determine mult , imea solut , iilor sistemului.
a
a
c) S˘ se demonstreze c˘ ecuat , ia XA = B nu are solut , ii X ∈ M 1,3 (C).
a
2. Se consider˘a legea de compozit , ie ”◦” definit˘a prin x ◦ y = xy − x − y + 2, x, y ∈ R, s , i
funct , ia f : R → R, f(x) = x + 1.
a
a) S˘a se arate c˘ intervalul (1, +∞) este parte stabil˘ a lui R ˆın raport cu ”◦”.
a
b) S˘ se demonstreze c˘ f(xy) = f(x) ◦ f(y), ∀x, y ∈ R.
a
a
c) S˘ se rezolve ˆın R ecuat , ia x ◦ x ◦ . . . ◦ x = 513.
a
| {z }
x de 9 ori
SUBIECTUL al III-lea
x
1. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = x − ln(e + 1).
a
0
a) S˘a se arate c˘ derivata f este strict descrescatoare pe R.
a
a
a
a
b) S˘ se arate c˘ lim x f(x) = 0, pentru orice a ∈ R.
x→+∞
a
c) S˘ se determine asimptotele graficului funct , iei f.
1
a
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = .
2
x + x + 1
√
Å ã
2 3 2x + 1
a) S˘a se arate c˘a funct , ia F : R → R, F(x) = arctg √ , x ∈ R, este o
3 3
primitiv˘ pentru funct , ia f.
a
a
b) S˘ se calculeze aria suprafet , ei delimitate de dreptele x = 0, x = 1, axa Ox s , i graficul
funct , iei g(x) = (2x + 1)f(x).
n
Z
∗
c) S˘ se calculeze lim f(x) dx, n ∈ N .
a
n→∞
−n
6
Profesor, Liceul Tehnologic Auto, Curtea de Arges , , mogiolan@yahoo.com