Page 59 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 59

Testul 3

Antonio-Mihail Nuic˘ 3
a

SUBIECTUL I
√
a
1. S˘ se determine ( 3 − i) 2026 .
2
2. S˘a se determine m ∈ R pentru care solut , iile x 1 , x 2 ale ecuat , iei x − x + m = 0 sunt
cuprinse ˆın intervalul (0, 1).
a
3. S˘ se rezolve ecuat , ia 5 · 2 3x−3 − 3 · 2 5−3x + 7 = 0.
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar de trei cifre abc, suma cifrelor s˘a fie 5.
√
5. S˘ se rezolve ˆın R ecuat , ia sin x + cos x = 2.
a
√
6. S˘a se calculeze aria triunghiului avˆand dou˘a laturi de lungimi 5 s , i 5 3 s , i raza cercului
circumscris R = 5.
SUBIECTUL al II-lea
Å ã
1 + 2x 4x
1. Fie matricea de forma A(x) = , x ∈ R.
−x 1 − 2x
a) S˘a se arate c˘ A(x) este inversabil˘a, ∀ x ∈ R.
a
a
b) S˘ se arate c˘ A(x) · A(y) = A(x + y), ∀ x, y ∈ R.
a
a
c) S˘ se determine inversa matricei A(1).
1 √
4
2
2. Fie polinomul f = X − 2X + 4 s , i α = √ ( 3 + i).
2
a) S˘a se arate c˘ α este r˘ad˘acin˘ a lui f.
a
a
a
b) S˘ se determine toate r˘ad˘acinile lui f.
a
a
c) S˘ se arate c˘ f este ireductibil ˆın Q[X].
SUBIECTUL al III-lea
x
1. Se consider˘ funct , ia f : R → R, definit˘a prin f(x) = √ .
a
2
x + 1
a) Ar˘atat , i c˘a f este strict cresc˘atoare pe R.
b) Determinat , i asimptotele la graficul lui f.
c) Determinat , i punctele de inflexiune ale lui f.
x
2. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = √ .
x + 1
2
2 f(x)
Z
a) Calculat , i dx.
1 x
1
Z
b) Calculat , i f(x) dx.
0
1
Z
c) Calculat , i xf(x) dx.
0

3
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, antonio.nuica@upb.ro