Page 61 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 61

Testul 5

Marius Macarie 5

SUBIECTUL I
1 + 2i
a
a
1. S˘ se calculeze partea real˘ a num˘arului complex z = .
3 + 4i
2
a
2. S˘ se determine valorile reale ale lui m pentru care x + 4x + m > 1, pentru orice x ∈ R.
3. S˘ se rezolve ˆın R ecuat , ia lg(2x + 6) = 2 lg(2x − 3) + 1.
a
Å ã 10
√ 1
8
a
4. S˘ se determine termenul ce cont , ine x din dezvoltarea x x + , unde x ∈ (0, ∞).
x 2
~
~
~
~
5. S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat vectorii ~u = (m + 11)i + 8j s , i ~v = (m − 1)i − 4j s˘a fie
coliniari. √
π 7π 6
a
a
6. S˘ se arate c˘ sin + sin = .
12 12 2
SUBIECTUL al II-lea

Ñ é
1 3 −2  x + 3y − 2z = 1
2
1. Se consider˘a matricea A(a) = 2 1 −a 2 s , i sistemul de ecuat , ii 2x + y − a z = 0,
1 −7 a  x − 7y + az = b
unde a, b ∈ R.
a) S˘a se determine valorile reale ale lui a astfel ˆıncˆat sistemul de ecuat , ii s˘a aib˘a solut , ie
unic˘a.
b) S˘a se determine valorile reale ale lui a pentru care rangul matricei A(a) este egal cu
2.
c) S˘ se rezolve sistemul de ecuat , ii pertru a = −2 s , i b = −3.
a
2
4
3
2. Se consider˘ polinomul f = X − 4X + 6X + mX + n, unde m, n ∈ R.
a
a) S˘a se determine m, n ∈ R s , tiind c˘a f are r˘ad˘acina i.
b) S˘a se determine m, n ∈ R astfel ˆıncˆat polinomul f s˘a fie divizibil cu polinomul
2
g = (X − 1) .
2 2 2 2
a
c) S˘ se calculeze (x 1 − 2) + (x 2 − 2) + (x 3 − 2) + (x 4 − 2) , unde x 1 , x 2 , x 3 , x 4 sunt
r˘ad˘acinile polinomului f.
SUBIECTUL al III-lea
x − 1
∗
1. Se consider¯ functia f : R → R, f(x) = .
a
1
e x
a) S˘a se arate c˘a tangenta la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 1 este
perpendicular˘a pe dreapta de ecuat , ie y = −e · x.
a
b) S˘ se determine intervalele de monotonie ale funct , iei f.
a
c) S˘ se determine ecuat , ia asimptotei spre +∞ la graficul funct , iei f.
Z 1 x n
∗
a
2. Se consider˘ s , irul (I n ) ∗, definit prin I n = √ dx, n ∈ N .
n∈N 2
0 4 + x
a) S˘a se calculeze I 1 .
b) S˘ se calculeze lim I n .
a
n→∞ √
a
a
c) S˘ se demonstreze c˘ (n + 1) · I n+1 = 5 − 4n · I n−1 , pentru orice n ≥ 2.
5
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, macariem@yahoo.com