Page 58 - MATINF Nr. 13-14

˘
58 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 2

M˘ad˘alin Avram 2

SUBIECTUL I
1
1. S˘ se determine z ∈ C cu proprietatea z + = 2i.
a
z
2. Fie funct , iile f, g : R → R, f(x) = |x − 2|, g(x) = 3x − 1. Determinat , i x pentru care
(f ◦ g)(x) = 2.
x
2 − 1 1
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia = .
2 x+1 + 1 5
a
a
4. Aflat , i probabilitatea ca, la aruncarea a dou˘ zaruri, suma punctelor s˘ fie par˘a, s , tiind c˘
a
a
cel put , in un zar arat˘ o valoare impar˘a.
5. Se consider˘a dreapta d : 3x − 4y + 8 = 0 s , i punctul A(2, −1). Dac˘a H este piciorul
a
perpendicularei din A pe dreapta d, verificat , i dac˘ punctele A s , i H sunt de aceeas , i parte
a axei Ox.
ˆ
◦
6. In triunghiul ABC, BC = 8, AC = 6, m(^C) = 60 . Aflat , i lungimea ˆın˘alt , imii cores-
punz˘atoare laturii AB.
SUBIECTUL al II-lea

 x + 2y + z = 3
1. Fie sistemul de ecuat , ii 2x + 4y + kz = 6, unde k ∈ R.
x + y + 2z = 2

a) Ar˘atat , i c˘a det(A(3)) = 1, unde A(k) este matricea asociat˘ sistemului.
a
b) Pentru ce valori ale lui k sistemul are o infinitate de solut , ii?
2
c) Pentru k = 2, determinat , i solut , iile (x 0 , y 0 , z 0 ) pentru care x + 3y 0 − 3z 0 = 4.
0
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie ”∗”, a ∗ b = a + b + ab.
a) Ar˘atat , i c˘a 1 ∗ (−2) ∗ 3 = −9.
b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale inecuat , ia (x ∗ x) − (3 ∗ x) ≥ 0.
c) Determinat , i perechile de numere ˆıntregi (m, n) pentru care m ∗ n = −2.

SUBIECTUL al III-lea

2
1. Se consider˘ funct , ia f : (0, ∞) → R, definit˘a prin f(x) = x − 4 ln x − 3.
a
4
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = 2x − , pentru x > 0.
x
b) Determinat , i abscisele punctelor de pe graficul funct , iei ˆın care tangenta la grafic este
a
paralel˘ cu dreapta y = 2x − 5.
c) Demonstrat , i c˘a ecuat , ia f(x) = 0 are exact dou˘a solut , ii.
x + 1
2. Se consider˘ funct , ia f : R \ {−1} → R, f(x) = .
a
x + 1
3
1 2π
Z
a) Ar˘atat , i c˘a f(x) dx = √ .
0 3 3
Z 1 2π
0
b) Ar˘atat , i c˘a xf (x) dx = 1 − √ .
0 3 3
1
Z
c) Calculat , i lim f(tx) dx.
t→0
0
2
Profesor, Liceul Tehnologic Auto, Curtea de Arges , , avrammadalin@yahoo.com