Page 56 - MATINF Nr. 13-14

˘
56 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 4

Marius Macarie 4

SUBIECTUL I
a
a
a
1. Se consider˘ progresia aritmetic˘ (a n ) n≥1 de rat , ie 3 cu a 2 + a 5 = 21. S˘ se determine a 1 .
2
2. S˘ se determine solut , iile ˆıntregi ale inecuat , iei x + x − 3 ≤ −1.
a
a
3. S˘ se rezolve ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia lg(2x − 3) − 2 lg(x − 3) = 0.
4. Fie mult , imea A = {1, 2, 3, 4, 5}. S˘a se determine probabilitatea ca, alegˆand una dintre
submult , imile mult , imii A, aceasta s˘ aib˘a cel mult dou˘a elemente.
a
5. Se consider˘ dreptele de ecuat , ii d 1 : 3x−y−2 = 0, d 2 : x+2y−3 = 0 s , i d 3 : 2x−5y+a = 0.
a
a
S˘ se determine a ∈ R pentru care cele trei drepte sunt concurente.
6. S˘a se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, s , tiind c˘a AB = 24
5
s , i cos C = .
13
SUBIECTUL al II-lea

Ñ é
1 −1 −1 x − y − z = −1

1. Se consider˘a matricea A(a) = 1 3 −1 s , i sistemul de ecuat , ii x + 3y − z = 7 ,
a 0 2  ax + 2z = −3

unde a ∈ R.
2
a) S˘a se arate c˘ det(A (0)) = 64.
a
a
b) S˘ se determine a ∈ R pentru care matricea A(a) este inversabil˘a.
a
c) S˘ se rezolve sistemul pentru a = −3.
3
2. Se consider˘ polinomul f = X + mX + 2, unde m ∈ R.
a
a) S˘a se determine m ∈ R pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul g = X +1.
b) S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat restul ˆımp˘art , irii polinomului f la polinomul
2
a
h = X − X s˘ fie 3X + 2.
4
4
4
c) Pentru m = −1, s˘a se calculeze x +x +x , unde x 1 , x 2 , x 3 sunt r˘ad˘acinile polinomului
1 2 3
f.
SUBIECTUL al III-lea
e −x
1. Se consider˘ funct , ia f : R \ {3} → R, f(x) = .
a
x − 3
f(x) − f(2)
a) S˘a se calculeze lim .
x→2 x − 2
a
b) S˘ se determine asimptotele graficului funct , iei f.
a
c) S˘ se determine intervalele de monotonie ale funct , iei f.
a
2. Se consider˘ funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = 4x + x · ln x.
2
Z
a) S˘a se arate c˘ (f(x) − x · ln x)dx = 6.
a
e 1
1 Z
b) S˘ se calculeze dx.
a
f(x)
1
c) S˘a se determine volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului
funct , iei g : [1, e] → R, g(x) = f(x) − 4x.
4
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, vasile.macarie@upb.ro