Page 54 - MATINF Nr. 13-14

˘
54 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 2

Marius Macarie 2

SUBIECTUL I
4
a
1. Se consider˘ num˘arul complex z = 1 + i. S˘a se arate c˘ z + 4 = 0.
a
2
2. S˘a se arate c˘a vˆarful parabolei asociate funct , iei f : R → R, f(x) = x + 6x + 8 se afl˘a pe
dreapta de ecuat , ie x + 2y + 5 = 0.
√
a
3. S˘ se rezolve ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x + 1 + x = 5.
4. S˘ se determine probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult , imea numerelor naturale de
a
trei cifre, produsul cifrelor sale s˘ fie impar.
a
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘ punctele A(3, −2) s , i B(4, 1). S˘ se determine ecuat , ia
a
a
dreptei care trece prin punctul M(2, −1) s , i este paralel˘ cu dreapta AB.
a
6. Se consider˘ t , riunghiul ABC cu AB = 5, BC = 7 s , i AC = 8. S˘ se calculeze m(^BAC).
a
a
SUBIECTUL al II-lea
Å ã Å ã
1 0 1 −1
1. Se consider˘ matricele I 2 = , A = s , i X(a) = I 2 + a · A, unde a ∈ R.
a
0 1 −3 3
a) S˘a se arate c˘ det X(1)) = 5.
a
a
a
b) S˘ se arate c˘ X(a) · X(b) = X(a + b + 4ab), pentru orice a, b ∈ R.
a
c) S˘ se determine inversa matricei X(1).
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie
p
3
3
x ◦ y = 3 x + y + 27.
a) S˘a se arate c˘ 2024 ◦ (−2024) = 3.
a
b) S˘a se determine numerele reale x care sunt egale cu simetricele lor ˆın raport cu legea
,,◦”.
3
c) Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = x +27. S˘a se arate c˘a f(x◦y) = f(x)+f(y),
pentru orice x, y ∈ R.
SUBIECTUL al III-lea
2
x − x + 2
a
1. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = .
2
x + x + 2
a) S˘a se determine ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 0,
situat pe graficul funct , iei f.
x
b) S˘ se calculeze lim (f(x)) .
a
x→∞
a
c) S˘ se determine punctele de extrem ale funct , iei f.
x
2. Se consider˘ funct , ia f : (−2, 2) → R, f(x) = √ .
a
4 − x 2
a) S˘ se determine primitiva F a funct , iei f al c˘arei grafic trece prin punctul de coordonate
a
(0, 2).
√
Z 3 x
b) S˘ se calculeze dx.
a
f(x)
0
c) S˘a se determine volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului
funct , iei g : [0, 1] → R, g(x) = f(x).
2
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, vasile.macarie@upb.ro