Page 53 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 53

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea Stiint , e ale naturii
,

Testul 1

Mihai Florea Dumitrescu 1

SUBIECTUL I
ˆ
a
a
a
1. In progresia aritmetic˘ (a n ) n≥1 suma primilor doi termeni este egal˘ cu dublul rat , iei. Dac˘
termenul al treilea este egal cu 15, aflat , i primul termen al progresiei.
2
∗
2. Se d˘a funct , ia f : R → R, f(x) = ax + 3x − 6, a ∈ R . Aflat , i numerele reale a astfel ˆıncˆat
f(a) + 6 = f(a + 1).
1
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log (x + 1) = log (x + 7).
2 2
3
4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult , imea numerelor prime mai mari
a
a
decˆat 11 s , i mai mici decˆat 59 acesta s˘a aib˘ cel put , in o cifr˘ num˘ar p˘atrat perfect.
ˆ
5. In sistemul cartezian de axe xOy, se dau punctele A(1, 3) s , i B(2a − 1, −9), a ∈ R. Aflat , i
numerele reale a, astfel ˆıncˆat distant , a de la mijlocul segmentului AB la originea sistemului
de axe s˘ fie egal˘ cu 5.
a
a
ˆ
◦
6. In triunghiul ABC se s , tie AB = 5, m(^C) = 30 s , i ˆın˘alt , imea AD = 3, D ∈ BC. Aflat , i
aria triunghiului ABC.
SUBIECTUL al II-lea
Å 2 ã Å ã
a + a + 1 a 1 0
1. Se dau matricele A(a) = ,a ∈ R s , i I 2 = .
a 1 0 1
a) Ar˘atat , i c˘a det A(−1) = 0.
2
2
b) Ar˘atat , i c˘a A (1) − A (2) = 4 · (A(1) − 2A(2)) + I 2 .
c) Rezolvat , i ˆın M 2 (R) ecuat , ia A(1)(X − I 2 ) = A(2).
1 1 1
2. Pe mult , imea numerelor reale nenule se consider˘a legea de compozit , ie x◦y = − − +2.
xy x y
1 1
a) Calculat , i ◦ .
2 3
∗
b) Ar˘atat , i c˘a 1 ◦ a = 1 pentru orice a ∈ R .
17
c) Aflat , i num˘arul natural n care verific˘ inegalitatea n ◦ n ≤ .
a
16
SUBIECTUL al III-lea
x 2
a
1. Se d˘ funct , ia f : (1, +∞) → R, f(x) = .
x − 1
x (x − 2)
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = , pentru orice x > 1.
(x − 1) 2
b) Determinat , i ecuat , ia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funct , iei f.
a
c) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este convex˘ pe intervalul (1, +∞).
e x
a
2. Se d˘ funct , ia f : R → R, f(x) = .
x
e + 1
x
R 1
a) Ar˘atat , i c˘a (e + 1) · f(x)dx = e − 1.
0
R 1
b) Calculat , i f (x) dx.
0
R a 2e
c) Aflat , i num˘arul real a > 0 din egalitatea (1 − f(x)) dx = ln .
0 e + 1
1
Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com