Page 74 - MATINF Nr. 11-12

˘
74 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 2

Raluca Mihaela Georgescu 2

SUBIECTUL I

4
3
2
Fie polinomul P ∈ C[X], P(X) = X − 4X + mX − 2X − 2, cu m ∈ R s , i r˘ad˘acinile
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ C.
√
a) S˘a se determine m ∈ R, s , tiind c˘a 1 + 2 este r˘ad˘acin˘a a polinomului.
b) Pentru m = 5, s˘a se descompun˘ polinomul ˆın factori ireductibili.
a
3
3
3
3
a
c) S˘ se determine m ∈ R, s , tiind c˘a x + x + x + x = 10.
2
3
4
1
a
a
a
d) S˘ se arate c˘ pentru orice m ≥ 0 este adev˘arat˘ inegalitatea
x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 4 x 1 + x 3 + x 4 x 2 + x 3 + x 4
+ + + ≥ 5.
x 2 4 x 2 3 x 2 2 x 2
1
SUBIECTUL al II-lea
x + 1
Fie funct , ia f : R → R, f(x) = .
2
x + 3
a) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct , iei f(x).
00
a
a
b) S˘ se arate c˘ ecuat , ia f (x) = 0 are cel put , in o singur˘ solut , ie real˘a.
a
a
c) S˘ se arate c˘ orice primitiv˘ a funct , iei f(x) este cresc˘atoare pe [−1, ∞).
a
a
3
R 1 Å x ã
d) S˘ se calculeze f(x) − 2 dx.
a
1 x x + 3
SUBIECTUL al III-leq
ˆ a
In planul de coordonate xOy se consider˘ punctele A(4, 0) s , i B(0, 3) s , i p˘atratele ABCD s , i
ABMN.
a) S˘a se determine coordonatele punctelor C, D, M s , i N, s , tiind c˘a punctul C se afl˘a ˆın
primul cadran, iar punctul M se afl˘a ˆın cadranul al treilea.
−−→ −−→
b) S˘ se calculeze |MN + ND|.
a
c) S˘ se determine perimetrul patrulaterului CDNM.
a
T T
d) S˘a se determine aria patrulaterului PQRS, unde {P} = AC MD, {Q} = AM CN,
T T
{R} = BN MD s , i {S} = BD CN.

2
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, raluca.georgescu76@upb.ro