Page 72 - MATINF Nr. 11-12

˘
72 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

a
a
a
6. Se consider˘ triunghiul ABC. S , tiind c˘ sin A · sin B = cos A · cos B, ar˘atat , i c˘ triunghiul
ABC este dreptunghic ˆın C.
SUBIECTUL al II-lea
Ñ é
0 P 1 P 2
2
1
1. Se consider˘a matricea A = 1 C 2 1 C 2 2 , unde P 1 , P 2 sunt permut˘ari, C , C sunt
2
2
2 A 2 A 3
2 3
3
2
combin˘ari, iar A , A sunt aranjamente.
2
3
a) Calculat , i det A.
b) Rezolvat , i ecuat , ia A · X = I 3 .
t
t
a
c) Calculat , i (A − A) 2023 , unde A reprezint˘ transpusa matricei A.
2. Pe Z definim legea de compozit , ie x ∗ y = x + y − 7.
a) Ar˘atat , i c˘a legea este bine definit˘a.
b) Ar˘atat , i c˘a e = 7 este element neutru.
c) Ar˘atat , i c˘a (Z, ∗) este un monoid.

SUBIECTUL al III-lea

® 1
e x , dac˘a x 6= 0
1. Se d˘a funct , ia f : R → R, f(x) = .
a
0, dac˘ x = 0
1
a) Demonstrat , i c˘a x = − este punct de inflexiune.
2
b) Demonstrat , i c˘a x = 0 este asimptot˘a vertical˘a.
c) Demonstrat , i c˘a dreapta de ecuat , ie y = 1 este asimptot˘a orizontal˘a.

2
x
2. Se d˘a funct , ia f : R → R, f(x) = e .
1
Z
2
x
a
a) F˘ar˘ a calcula efectiv integrala, s˘a se arate c˘ 1 < e dx < e.
a
0
√ Z x
2
b) S˘a se arate c˘ x = − 2 este punct de maxim local pentru funct , ia f(t)(t − 2) dt.
a
0
√
c) S˘a se verifice dac˘a x = 2 este punct de minim global pentru funct , ia
x
Z
2
f(t)(t − 2) dt.
0