Page 71 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 71

a) Ar˘atat , i c˘a det A(2, 1) = −1.

b) Aflat , i inversa matricei A(2, 1).

c) Determinat , i numerele reale a s , i b astfel ˆıncˆat sistemul de ecuat , ii s˘ fie compatibil simplu
a
nedeterminat.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie:

x ∗ y = 2xy − 3x − 3y + 6.

a) Determinat , i elementul neutru al legii de compozit , ie ,,∗”.

b) Determinat , i valorile reale ale lui x astfel ˆıncˆat x ∗ x ∗ x = x.
∗

3
c) Aflat , i valorile reale ale lui a s , i b astfel ˆıncˆat funct , ia: f : R \ → R , f(x) = ax + b s˘a
2
∗
3
fie un izomorfism ˆıntre grupurile (R \ { }, ∗) s , i (R , ·).
2
SUBIECTUL al III-lea
e 2x
1. Se consider˘a funct , ia f : (0, ∞) → R definit˘ prin f(x) = .
a
e 2x + x
(2x − 1)e 2x
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = , pentru orice x ∈ (0, ∞).
(e 2x + x) 2
b) Determinat , i ecuat , ia asimptotei spre +∞ la graficul funct , iei f.
c) Determinat , i imaginea funct , iei f.
Z 1 x 2n
2. Pentru fiecare num˘ar natural nenul n se consider˘a I n = dx.
e 3x
0
a) Calculat , i I 1 .
2n + 5
(2n + 1)(2n + 2)I n
b) Ar˘atat , i c˘a I n+1 = − , pentru orice num˘ar natural nenul n.
9 9e 3
c) Calculat , i lim I n .
n→∞

Testul 6
Ioan Ropot˘ 6
a

SUBIECTUL I
2
3
1. Ar˘atat , i c˘a (1 + i) − 2(i − 1) = 0, unde i = −1.
√
2
a
a
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R definit˘ prin f(x) = 2x − ax + 2, unde a este un num˘ar
real. Determinat , i num˘arul real a, s , tiind c˘a M(1, 2) apart , ine graficului funct , iei f.
2
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log (x + 7) = log x + log (x + 7).
7 7 7
2
4. Rezolvat , i urm˘atoarea ecuat , ie trigonometric˘ 2(1 − cos x) − 5 sin x + 2 = 0.
a
− → −→
ˆ
5. In planul ˆınzestrat cu reperul ortonormat (O, i , j ) se consider˘a punctele A(−2, 5),
− →
B(−3, 4), C(−2, −1) s , i vectorul u (2, −1). Fie d dreapta definit˘a de punctul A s , i vectorul
− →
director u . Demonstrat , i c˘a dreptele d s , i BC sunt secante.
6
Profesor, Colegiul Tehnic ,,Costin D. Nenit , escu”, Bucures , ti, ropotaioan@yahoo.com